第三讲函数的内涵和外延1省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件

第三讲函数内涵和外延内容结构：

1、函数概念发展历程；

2、函数思想广泛应用；

3、初等函数分类；4、基本初等函数公理化定义。第1页函数概念发展历程一引子：变量数学引入变量数学第一个里程碑是解析几何学创造。解析几何基本思想是在平面内引进“坐标”概念，并借助这种坐标在平面上点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应关系。每一对实数（x，y）都对应于平面上一个点；反之，每个点都对应于它坐标（x，y）。第2页解析几何创始人——笛卡儿第3页第三讲函数内涵和外延

“一切问题能够转化成数学问题；一切数学问题能够转化成代数问题；一切代数问题能够转化成方程求解问题。笛卡儿数学格言第4页

恩格斯；“数学中转折点是笛卡儿变数，有了变数，运动进入数学；有了变数，辩证法进入数学；有了变数，微分和积分也立刻成为必要了。”

恩格斯评论笛卡儿：“数学因为研究变数而进入辩证法领域，而且很显著正是辩证哲学家笛卡儿使数学有了这种进步。”第5页笛卡尔哲学格言是：“我思，故我在”。

“一切问题能够转化成数学问题，

一切数学问题，能够转化成代数问题，一切代数问题，能够转化成方程求解问题。笛卡儿数学格言是：（万能代数模型）笛卡儿不但是解析几何创始人，而且也是近代西方哲学奠基人之一。他数学思想和数学方法洋溢着哲学气息和形而上学思辩性。第6页数学史上最具水准情书情书内容：

R=a(1-sinx)“笛卡儿，

欧洲文艺复兴以来，

为人类争取并确保理性权利第一人”。墓碑内容：第7页二函数内涵（概念）发展历程函数是数学中一个基本而又主要概念之一，它几乎渗透到当代数学各个分支，初等函数是贯通中学数学一直主要内容，也是高等数学主要组成部分。函数概念是伴随数学发展而发展，是不停地改进，不停地抽象，不停地创新过程。第8页问题：高中阶段怎样讲解“函数”课题？

方法1：利用初中、高中书本函数知识差异导入课题。第9页问题：高中阶段怎样讲解“函数”课题？

方法2：利用映射导入课题。

举例1、“开平方”、“平方”、“求余弦”等关系（对应）共同点引入课题（90年代教材）第10页函数产生历史背景16世纪开始，因为生产力不停发展，人们对物体运动，改变研究成了科学技术发展中心问题。所以改变着量相互间依赖关系成了研究主要课题，反应到数学里，就产生了变量和函数概念。“变量”概念，首先由笛卡尔提出，从而改变了过去数学只研究常量局面。第11页1、17世纪末，德国数学家莱布尼兹首先用“function”一词来表示“函数”意思，当初用来表示“幂”、“坐标”、“切线长”等概念。莱布尼兹把全部与曲线上点相关量都称为函数，这一函数概念是非常含混不清。德国百科式天才数学家第12页2、1718年，瑞士数学家约翰伯努利给出函数定义，同时第一次使用了“变量”一词，他写到：“变量函数就是变量和变量以某种方式组成量”。首先将函数概念公式化。第13页3、18世纪，法国数学家达朗贝尔给出函数定义为：“所谓函数就是由这些变量和常量所组成解析表示式”。即用解析表示式表示函数关系。4、瑞士数学家欧拉把函数定义深入解析化，将函数定义为“变量函数是一个由该变量与一些常量以任何方式组成解析表示式”。欧拉函数定义在18世纪后期占据了统治地位，在这一定义基础上，函数概念本身大大丰富了。第14页第一阶段函数发展特点：优点：用解析式和图象表示函数，直观形象，不过它们没有揭示出函数本质特征，停留在表象上。

5、19世纪法国数学家柯西（1821年）给出函数定义：“两个相互联络变量，一个变量数值能够在某一范围内任意改变，这么变量叫自变量。另一变量数值伴随自变量改变而改变，这个变量叫因变量，称因变量是自变量函数。”（中学教材30—40年代）第15页这个定义朴素地反应了函数辨证原因，并在特定条件下表达了自变到因变生动过程，总结了许多函数共性，不过它强调“伴随改变而改变”，从而缩小了函数外延。第16页6、19世纪德国数学家狄立克莱（1837年）首先用单值对应思想给出函数新定义：“假如对于给定区间上每一个x值，有唯一y值同它对应，那么就称y是x函数，x是自变量。”（近代函数定义原型）第17页这个定义采取了“对应”观点，摆脱了“变量”一词提法，强调“对应关系”，是一个进步，它澄清了函数、曲线与解析式之间纠缠不清现象，但没有注意对应法则所占据主要作用，同时它借助“对应”来定义函数，而未对“对应”作出定义，只能凭借直观加以了解。这一时间函数定义称为函数传统定义。

第18页第二阶段函数发展特点是：含有辨证思想，引入了新观点。7、近代数学中，函数概念又有了深入扩展。在康托所创建集合论基础上，逐步形成了函数近代定义。近代定义不像传统定义那样把函数看成是一个变量，而是把函数作为定义域、值域和从第一域到值域上对应法则组成映射，它抓住了函数概念本质属性，而且深刻反应了函数内涵。第19页（现阶段高中书本定义）第20页8、继美国皮尔士定义“关系”为序偶组成集合之后，意大利数学家皮亚诺于1911年用集合论观点提出了函数准确而普遍定义：第21页怎样定义“关系”？第22页函数与关系区分（函数是特殊关系）（1）函数有三要素：定义域、值域、对应关系

定义域是函数概念基本要素，借助它能够判断二函数是否是同一函数；f是使“对应”得以实现方法和路径，是联络x和y纽带，是函数概念关键。第23页函数与关系区分第24页第25页例3、判断以下关系式中哪些是函数第26页中国教材中函数三种定义方式定义1假如两个变量按照某一确定规律联络着，当第一变量改变时，第二变量也伴随改变，就把第二个变量叫做第一个变量（自变量）函数。定义1源自欧拉经典变量定义，我国“文化大革命”前中学教材所采取定义。第27页函数三种定义方式定义2设A，B是两个集合，假如按照某种对应法则f，对于集合A中任意一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这么对应就叫做从集合A到集合B函数，记为f:A——B。定义2以狄立克雷定义为基础经过改进后近代定义。第28页函数三种定义方式定义3

定义3源自法国布尔巴基学派当代定义。第29页新课程标准下函数概念与基本初等函数I教学（约32课时）（1）函数①经过丰富实例，深入体会函数是描述变量之间依赖关系主要数学模型，在此基础上学习用集合与对应语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中作用；了解组成函数要素，会求一些简单函数定义域和值域；了解映射概念。第30页②在实际情境中，会依据不一样需要选择恰当方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。③经过详细实例，了解简单分段函数，并能简单应用。④经过已学过函数尤其是二次函数，了解函数单调性、最大（小）值及其几何意义；结合详细函数，了解奇偶性含义。⑤学会利用函数图象了解和研究函数性质。第31页（2）指数函数①经过详细实例（如细胞分裂，考古中所用14C衰减，药品在人体内残留量改变等），了解指数函数模型实际背景。②了解有理指数幂含义，经过详细实例了解实数指数幂意义，掌握幂运算。③了解指数函数概念和意义，能借助计算器或计算机画出详细指数函数图象，探索并了解指数函数单调性与特殊点。④在处理简单实际问题过程中，体会指数函数是一类主要函数模型。第32页（3）对数函数①了解对数概念及其运算性质，知道用换底公式能将普通对数转化成自然对数或惯用对数；经过阅读材料，了解对数发觉历史以及对简化运算作用。②经过详细实例，直观了解对数函数模型所刻画数量关系，初步了解对数函数概念，体会对数函数是一类主要函数模型；能借助计算器或计算机画出详细对数函数图象，探索并了解对数函数单调性与特殊点。③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0,a≠1）。第33页（4）幂函数经过实例，了解幂函数概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,,

图象，了解它们改变情况。第34页（5）函数与方程①结合二次函数图象，判断一元二次方程根存在性及根个数，从而了解函数零点与方程根联络。②依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求对应方程近似解，了解这种方法是求方程近似解惯用方法。第35页（6）函数模型及其应用①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增加差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增加等不一样函数类型增加含义。②搜集一些社会生活中普遍使用函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）实例，了解函数模型广泛应用。第36页（7）实习作业依据某个主题，搜集17世纪前后发生一些对数学发展起重大作用历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）相关资料或现实生活中函数实例，采取小组合作方式写一篇相关函数概念形成、发展或应用文章，在班级中进行交流。第37页函数教学提议1、函数概念教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生了解函数本质。函数概念引入普通有两种方法，一个方法是先学习映射，再学习函数；另一个方法是经过详细实例，体会数集之间一个特殊对应关系，即函数。考虑到多数高中学生认知特点，为了有利于他们对函数概念本质了解，提议采取后一个方式，从学生已掌握详细函数和函数描述性定义入手，引导学生联络自己生活经历和实际问题，尝试列举各种各样函数，构建函数普通概念。再经过对指数函数、对数函数等详细函数研究，加深学生对函数概念了解。像函数这么关键概念需要屡次接触、重复体会、螺旋上升，逐步加深了解，才能真正掌握，灵活应用。第38页2、在教学中，应强调对函数概念本质了解，防止在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐技巧训练，防止人为地编制一些求定义域和值域偏题。3、指数幂教学，应在回顾整数指数幂概念及其运算性质基础上，结合详细实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂意义及其运算性质，深入体会“用有理数迫近无理数”思想，而且能够让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“迫近”过程。第39页4、反函数处理，只要求以详细函数为例进行解释和直观了解，比如，可经过比较同底指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数（a>0,a≠1）。不要求普通地讨论形式化反函数定义，也不要求求已知函数反函数。第40页5、在函数应用教学中，教师要引导学生不停地体验函数是描述客观世界改变规律基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界亲密联络及其在刻画现实问题中作用。同时应注意勉励学生利用当代教育技术学习、探索和处理问题。比如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等图象，探索、比较它们改变规律，研究函数性质，求方程近似解等。第41页三、函数外延函数思想外延基本内容：1、利用函数思想解题，使函数性质有用武之地（单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值）；2、数形结合数学思想方法在函数观点下融为一体；3、结构法在函数思想中灵活应用。（结构特征、数式特征、图形特征、数量特征）

结构法解题关键有两点：（1）要有明确方向，即为何结构，（2）必须搞清条件本质特征，从而明确结构什么，怎样结构以到达解题目标。第42页（1）、结构函数，利用函数性质解题第43页（2）、抓住函数结构特征，联想推理第44页第45页（1