2023-2023深圳福永街道福民学校高中必修二数学下期中第一次模拟试卷含答案

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案

一、选择题

1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D．四边形确定一个平面

2．若圆C:222430xyxy++-+=关于直线260axby++=对称，则由点(,)ab向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6

3．已知圆截直线

所得线段的长度是

，则圆与

圆的位置关系是（）A．内切

B．相交

C．外切

D．相离

4．已知圆M：2

2

20xyy=++与直线l：350axya+-+=，则圆心M到直线l的最大距离为（）A．5

B．6

C．35

D．41

5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）

A．310cm

B．320cm

C．330cm

D．340cm

6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()

A．

B．

C．

D．

7．在长方体1111ABCDABCD-中，11111,2AAADaABa===，点P在线段1AD上运动，当异面直线CP与1BA所成的角最大时，则三棱锥11CPAD-的体积为（）

A．34

a

B．33

a

C．32

a

D．3a3a

8．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

①若，，则

；②若，，则；③若，

，

，则

④若

，

，

，则.

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

9．如图，正四周体ABCD中，,EF分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，

G是线段BD的动点，则()

A．存在点G，使PGEF⊥成立

B．存在点G，使FGEP⊥成立

C．不存在点G，使平面EFG⊥平面AC

D成立

D．不存在点G，使平面EFG⊥

平面ABD成立

10．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）

A．20＋3π

B．24＋3π

C．20＋4π

D．24＋4π

11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）

A．3

B10

33

C．23

D833

12．若圆的参数方程为12cos,32sinxyθθ=-+??=+?（θ为参数），直线的参数方程为21,

61

xtyt=-??

=-?（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交且过圆心B．相交但不过圆心C．相切D．相离二、填空题

13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sinθ=______.14．给出下面四个命题：

①“直线l⊥平面α内全部直线”的充要条件是“l⊥平面α”；②“直线//a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；

④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.其中正确命题的序号是____________________

15．已知三棱锥PABC-中，侧面PAC⊥底面ABC，90BAC∠=?，4ABAC==，

23PAPC==，则三棱锥PABC-外接球的半径为______.

16．若过点(8,1)P的直线与双曲线2

2

44xy-=相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________．

17．三棱锥PABC-中，5PAPB==2ACBC==ACBC⊥，3PC=，则

该三棱锥的外接球面积为________.

18．已知正方体1111ABCDABCD-的棱长为1，点E是棱1BB的中点，则点1B到平面

ADE的距离为__________.

19．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PCBD⊥，则平行四边形ABCD肯定是___________.

20．在正方体1111ABCDABCD-中，E是棱1DD的中点，则直线BE和平面11ABBA所成的角的正弦值为_____________.

三、解答题

21．如图，在四棱锥PABCD-中，PA⊥面ABCD，//ABCD，且

22,22CDABBC===，90ABC∠=?，M为BC的中点．

（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；

（2）若二面角PDMA--为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，直线2210xy+--=与圆C相切，圆心C的坐标为

()2,1-

（1）求圆C的方程；

（2）设直线y=x+m与圆C交于M、N两点.①若22MN≥，求m的取值范围；②若OM⊥ON，求m的值.

23．如图，三棱柱111ABCABC-中，平面11AACC⊥平面11AABB,平面11AAC

C⊥平面ABC，12ABACAA===,点P、M分别为棱BC、1CC的中点，过点B、M的平面

交棱1AA于点N,使得AP∥平面BMN.

（1）求证：AB⊥平面11AACC;（2）若四棱锥BACMN-3

1AAC∠的正弦值.24．已知圆C的方程：2

2

240xyxym+--+=．（1）求m的取值范围；

（2）若圆C与直线l：240xy+-=相交于M，N两点，且45

||MN=，求m的值．

25．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A6，M是CC1的中点．

(1)求证：A1B⊥AM；

(2)求二面角B--AM--C的平面角的大小．.

26．如图所示，直角梯形ABCD中，//ADBC，,ADAB⊥22,ABBCAD===四边形EDCF为矩形，2DE=，平面EDCF⊥ABCD.

（1）求证：//DF平面ABE；

（2）求二面角BEFD--二面角的正弦值；

（3）在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF6

存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.

***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题1．C解析：C

依据确定一个平面的公理及推论即可选出.

A选项，依据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；

B选项，依据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；

C选项，依据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.

本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.

2．B

解析：B

试题分析：222430xyxy++-+=即22(1)(2)2xy++-=，

由已知，直线260axby++=过圆心(1,2)C-，即2260,3abba-++==-，

由平面几何学问知，为使由点(,)ab向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C-与直线

30xy--=上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为2123

(

)242

----=，

故选B.

考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.

3．B

解析：B化简圆

到直线

的距离

，

又

两圆相交.选B

4．A

解析：A

计算圆心为()0,1M-，350axya+-+=过定点()3,5N-，最大距离为MN，得到答案.

圆M：2

2

20xyy=++，即()2

211xy++=，圆心为()0,1M-，

350axya+-+=过定点()3,5N-，故圆心M到直线l的最大距离为5MN=.

故选：A.

本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N-是解题的关键.

5．B

解析：B

试题分析：.由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：

棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm3）．考点：1.三视图读图的力量；2.几何体的体积公式.

6．A

解析：A

利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满意题意，从而可得答案．

对于B项，如图所示，连接CD，由于AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选：A.

本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．

7．B

当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥C﹣PA1D1的体积．

如图，当P与A重合时，

异面直线CP与BA1所成的角最大，∴当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥C﹣PA1D1的体积：

11CPADV-=11CAADV-=11

13AADSAB??V=1111132AAADAB?????????=11232aaa?????????=

3

3

a．故选:B．

求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，留意求体积的一些特别方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规章几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特殊是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过详细作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

8．B

解析：B

在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m与n平行或异面；在③中，m与β相交、平行或m?β；在④中，由n⊥α，m⊥α，得m∥n，由n⊥β，得m⊥β．

由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：

在①中，若α∥β，m?α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；

在②中，若m∥α，n?α，则m与n平行或异面，故②错误；

在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m?β，故③错误；

在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，

由n⊥β，得m⊥β，故④正确．

故选：B．

本题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查空间想象力量、推理论证力量，考查化归与转化思想，是中档题．

9．C

解析：C

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．

正四周体ABCD中，,EF分别是线段AC的三等分点，

P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，

⊥成立，故A错误；

在A中，不存在点G，使PGEF

⊥成立，故B错误；

在B中，不存在点G，使FGEP

在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；

在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.

故选：C.

本题考查命题真假的推断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象力量．

10．A

解析：A

由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，

故选A.

考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.

11．B

解析：B

由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，110

4323333

V=?=.故选：B.

12．B

解析：B

依据题意，将圆和直线的参数方程变形为一般方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320yx--=的距离2d，

化简得2610

mm

++0?，故352m-+=

或35

2

m--=

.

本题重点考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，合理运用圆的性质是关键.留意韦达定理及整体思想的运用，属中档题.23．（1）见解析；（2）3

.

（1）在平面ABC中，过点B作棱AC的垂线，垂足为D，Q平面11AACC⊥平面

ABC，∴BD⊥平面11AACC.

在平面11AABB中，过点B作棱1AA的垂线，垂足为E，Q平面11AACC⊥平面

11AABB，∴BE⊥平面11AACC.

Q过点B与平面11AACC垂直的直线有且只有一条，∴BE与BD重合，又∵平面ABCI

平面11AABBAB=,∴BE与BD重合于AB，所以AB⊥平面11AACC.

（2）设BM的中点为Q，连接PQ，NQ，

Q点P为棱BC的中点，∴PQ∥CM且PQ=

1

2

CM，Q1AA∥1CC，∴PQ∥AN，∴P、Q、N、A四点共面，

∵AP∥平面BMN，∴AP∥NQ，∴四边形PQNA是平行四边形，∴PQ=AN，∵M为1CC的中点且12ABACAA===，∴1CM=，∴PQ=AN=

12

，

设梯形ACMN的高为h，Q2AB=，

∴

11112×2322BACMN

hVh-??+???=?==

，∴h=

∴1sinhAACAC∠=

=

,∴1AAC∠

24．（1）5m时是圆，即求得m的范围.（2）先求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理得出半径，进而得到m的值.

（1）方程2

2

240xyxym+--+=可化为()()22

125xym-+-=-，

∵此方程表示圆，∴50m->，即5m时，方程为圆的方程，当2240DEF+-=时，为点的坐标.直线和圆相交所得弦长一般利用圆心到直线的距离构造直角三角形来求解.25．（1）见解析（2）45°

(1)以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示，

则B(1,0,0)，A(03，0)，A1(036)，M6???

.

所以1ABuuur＝(136)，AMuuuur＝60,3,2???

.

由于1ABuuur·AMuuuur＝1×0＋(33)＋(6)×62

0，所以A1B⊥AM.

(2)由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC.由于∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面AMC.所以CBuuur是平面AMC的一个法向量，CBuuur

＝(1,0,0)．

设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，BAuuur＝(－130)，BMuuuur

＝61,0,2?

?

-????

.

由0,

{0nBAnBM==uuuruuuur得30

{60

2

xyxz-=-+=，令z＝2，得x6，y2.所以n＝62，2)

由于|CBuuur|＝1，|n|＝3cos〈CBuuur，n〉＝CBnCBn??uuuruuur＝22

，因此二面角B-AM-C的大小为45°26．（1）证明见解析；（2）23；（3）存在，3BP=或2

3

BP=

（1）以,,DADGDE分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，DFAEAB=+uuuruuuruuur

，得到证明.

（2）平面DEF的一个法向量为()12,1,0n=ur，平面BEF的一个法向量为()12,1,2n=ur

，

计算夹角得到答案.

（3）假设存在点P满意条件，设BPBEλ=uuuruuur

，设线AP与平面BEF所成角为θ，

2

2

cosAPnAPnθ?=?uuuruuruuuruur，解得答案.

（1）取BC中点G，连接DG，易知DADG⊥，

平面EDCF⊥ABCD，四边形EDCF为矩形，故ED⊥平面ABCD.以,,DADGDE分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，