新高考数学高频考点题型归纳02不等关系（教师版）

专题02不等关系一、关键能力通过对不等关系学习，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式对于刻画不等关系的意义和价值；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构并且用数学知识与方法构建模型解决问题，培养学生的数学抽象及数学建模能力。二、教学建议加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论，但在在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠，只需要这些性质的合理性上举例说明即可；同时也可以类比等式的基本性质，对一些不等式的推断作一些分析验证，通过类比，使学生认识不等式与等式性质之间的相同点与不同点．三、自主先学1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同为正数四、高频考点+重点题型考点一、创建不等关系1．（多选题）（2021·江苏高三其他模拟）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A，由题意可知，正确；对于B，因为，所以，正确；对于C，即，错误；对于D，，正确.故选：ABD2．（2020·上海市建平中学高三月考）元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是．A．B．C．D．的大小关系不确定【答案】A【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为(单位为：元)，则有.所以有，因此.可得：；可得：，因此.故选：A3．（2019·全国高考真题（文））古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．4．（2020·北京高三一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.5．（2020·滨海县八滩中学高三其他模拟）调查某地居民每年到商场购物次数与商场面积、到商场距离的关系，得到关系式（为常数）.如图，某投资者计划在与商场相距10km的新区新建商场，且商场的面积与商场的面积之比为.记“每年居民到商场购物的次数”、“每年居民到商场购物的次数”分别为，，称满足的区域叫做商场相对于的“更强吸引区域”.（1）已知与相距15km，且.当时，居住在点处的居民是否在商场相对于的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场相距2km以内的区域（含边界）均为商场相对于的“更强吸引区域”，求的取值范围.【答案】（1）居住在点处的居民是不在商场相对于的“更强吸引区域”内，理由见解析；（2）.【详解】（1）设商场，的面积分别为，，点到，的距离分别为，，则，，，为常数，，在中，，，，由余弦定理得：．又，此时，，将代入，得，，，当时，居住在点处的居民是不在商场相对于的“更强吸引区域”内．（2）以所在直线为轴，为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由，得，将代入，得，代入坐标，得，化简，得，，配方得，商场相对于的“更强吸引区是：圆心为，，半径为的圆的内部，与商场相距的区域（含边界）是：圆心为，半径为的圆的内部及圆周，由题设，圆内含于圆，即，，，解得．的取值范围是．考点二、比较大小1．（2021·广东高三其他模拟）已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（）A．ab＞cd B．a－b＞c－dC．ab＋cd＞ad＋bc D．【答案】C【详解】若,此时，，.A、B、D错误.因为，所以，又因为，所以，C正确.故选C.2．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）如果那么下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，不等式两边同时减去得，D正确，若，则AB错误，若，C错误．故选：D．3．（多选题）（2021·江苏南京市·高三一模）若，则下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A选项,由于,故,所以,即,故A选项正确;对于B选项,由于,故,,故,故B选项错误;对于C选项,因为,故,所以,所以,故C选项正确;对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;故选:AC4．（多选题）（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（）A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；若时，有，故成立；若时，则有，，因为，所以，即成立；故C正确；对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；故选：AC5．（多选题）（2021·江苏盐城市·盐城中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，则【答案】BC【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B:，，所以本命题是真命题；选项C:，，所以本命题是真命题；选项D:若时，显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC．6．（多选题）（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）已知，且，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】因为，且，所以同号，且，故A正确；因为，则当时，，同时除以，因为，所以有即，故B错误；因为，所以同号，所以，所以，又，所以等号取不到，所以，故C正确；因为函数是单调增函数，且，所以，故D错误；故选：AC7．（多选题）（2020·全国高三其他模拟）已知且，则下列结论中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】A：因为且，所以，即，，不一定等于1，故A项不一定成立；B：因为，所以，所以B项一定成立；C：因为，所以，C项一定成立；D：，D项一定成立.考点三、作差法作商法比较大小1．（2020·陕西咸阳市·高三月考（理））若，则（）A． B．C． D．【答案】A解：选项A中，由于，所以成立；故A正确；选项B中，，，与大小不能确定，故B错误；选项C中，由于，故C错误；选项D中，令，则，故D错误.故选：A.2．（多选题）（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】BD【详解】∵，两式相减得，即，∴．又，∴．而．∴，从而．故选：BD．3．（2020·全国高三专题练习（文））设，，则，的大小关系为_________.【答案】解：，，，、的大小关系为；故答案为：.4．（2020·全国高三专题练习（理））已知a，b为正实数．求证：＋≥a＋b.【详解】（1）证明：因为＋－(a＋b)＝＝＝.又因为a＞0，b＞0，所以≥0，当且仅当a＝b时等号成立．所以＋≥a＋b.考点四、不等式与简易逻辑1．（2021·全国高三其他模拟（文））已知p：q：，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，所以，所以充分性满足，当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，所以是的充分不必要条件，故选：A.2．（2019·山东德州市·高三期末（文））设且，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】D【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．3．（2020·全国高三专题练习（理））设，，则是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若，则成立，所以是充分性若，则当时成立，不满足，所以不是必要性所以是的充分不必要条件所以选A4．（2020·吉林吉林市·高三零模（文））“”的一个充分条件是A．或 B．且 C．且 D．或【答案】C【详解】对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C.考点五、开放性试题1．（2020·湖南衡阳市·）已知三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：因①②③,①③②,②③①,故应选D.2．（2020·江苏徐州市·徐州一中高三其他模拟）已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．【答案】若a＞b，a＜0且b＜0，则＜（或若＜，a＜0且b＜0，则a＞b）【详解】若a＞b，a＜0且b＜0，则＜，证明：，，故；，，故，则，故.故答案为：若a＞b，a＜0且b＜0，则＜.3．（2020·北京密云区·高三期中）给出下列五个论断：①；②；③；④；⑤.以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.【答案】②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤【详解】由②③⇒⑤，因为，，则.由③④⇒⑤，由于，，则，所以.由②④⇒⑤，由于，且，则，所以.故答案为：②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤4．（2020·上海高一专题练习）已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>，|β|>.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________.【答案】①③⇒②【详解】①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5，若①②成立，如，但③不成立，若②③成立，如，但①不成立．故答案为：①③⇒②．5．（2021·全国高一课时练习）已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①，③，则，所以.故答案为：①③推出⑤6．（2020·全国高三测试）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？【答案】可组成3个正确命题．【详解】（1）对②变形得，由得②成立，即①③②．（2）若，则，即①②③．（3）若，则，即②③①．综上所述，可组成3个正确命题．考点六、已知不等关系求目标范围最值1．（2020·贵州六盘水市·高三其他模拟（理））已知角满足，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.2．（2019·全国）已知，则的取值范围为_______.【答案】【详解】因为，所以，所以，.将不等式,同乘以,则，即.故答案为:.3．（2020·全国）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.【答案】【详解】设即所以，解得所以因为，，所以由不等式性质可知即，当且仅当时取等号，解得.综上可知，的最小值为.故答案为：.4．（2019·上海上外附中）已知，则的范围是______________.【答案】【详解】由题,故,.故,,则,又,故.故.故答案为：5．（2020·浙江杭州市·高三三模）已知Sn是等差数列{an}的前n项的和，若S2≥4，S4≤16，则a5的最大值是_____．【答案】【解析】设等差数列公差为则，因此，即a5的最大值是达标测试一、单项选择题1．若a，b∈R，且a>|b|，则()A．a<－b B．a>bC．a2<b2 D.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)答案：B解析：由a>|b|得，当b≥0时，a>b，当b<0时，a>－b，综上可知，当a>|b|时，则a>b成立，故选B.2．若a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b) B．a2<abC.eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1) D．an>bn答案：C解析：(特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1)⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故选C.3．设M＝eq\f(3x＋3y,2)，N＝(eq\r(3))x＋y，P＝(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是()A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P答案：A解析：M＝eq\f(3x＋3y,2)>eq\r(3x＋y)＝(eq\r(3))x＋y＝N，又N＝(eq\r(3))x＋y＝>＝P，∴M>N>P.4．若α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π答案：C解析：∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π