2021年中考数学复习 20 相似三角形问题（教师版含解析）

专题20相似三角形问题

专题知识点概述

一、比例

1.成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的

长度的比相等，即q=£（或a：b=c：d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为

ha

比例内项的是两条相同的线段，即0=2或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项。

hc

2.黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之

比，则可得出这一比值等于618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长

线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论

1.相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相

似比。

3.三角形相似的判定方法

（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

（3）两个三角形相似的判定定理

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述

为两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角

形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简

述为三边对应成比例，两三角形相似。

4.直角三角形相似判定定理：

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

(3)相似三角形周长的比等于相似比

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【例题1】(2020•河北)在如图所示的网格中，以点。为位似中心，四边形4版的位似图形是()

A.四边形A%图B.四边形用物?C.四边形八%欧D.四边形八刊加

【答案】A

【分析】由以点。为位似中心，确定出点。对应点材，设网格中每个小方格的边长为1,则哈通，0M

=2V5,0D=V2,0B=V10,04=g,0R=V5,OQ=2y[2,0P=2yflO,0H=3瓜〃¥=2m，由一=2,

oc

得点〃对应点0,点6对应点只点/!对应点M即可得出结果.

【解析】：以点。为位似中心，

.•.点C对应点机

设网格中每个小方格的边长为1,

则0C=V22+I2=V5,0M=V42+22=2>/5,0D=V2,0B=V32+l2=V10,(M=y/32+22=V13,0R=

V22+l2=V5,OQ=2y[2,0P=V62+22=2V10,0H=+呼=3后V62+42=2V13,

..”一2

•一I——乙，

OC75

...点〃对应点0,点8对应点尺点A对应点N,

以点0为位似中心，四边形4腼的位似图形是四边形NPMQ。

【对点练习】(2019广西北海)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为/(-I,1),庾-4,

1),C(-2,3).

(1)画出关于点0成中心对称的△48G；

(2)以点4为位似中心，将△?1比放大为原来的2倍得到△力员C,请在第二象限内画出

(3)直接写出以点4,B、,G为顶点，以45为的平行四边形的第四个顶点。的坐标.

【答案】见解析。

【解析】（1）根据关于原点对称的点坐标特征写出4、&，关于原点的对称点4、B、、G的坐标，然后描点

即可.如图，△45G为所作.

（2）延长A?到氏使力6=2皿，延长4c到G使1G=2/C,连接区G,则△9G满足条件.第四个顶点〃的坐

标为（-1,-3）或（5,-3）.

（3）另一条平行四边形的性质，把G点向左或右平移3个单位得到〃点坐标.

第四个顶点〃的坐标为（-1,-3）或（5,-3）.

【例题2】（2019•广西贺州）如图，在中，I）,£分别是四，然边上的点，DE//BC,若

4）=2,46=3,a1=4,则a'等于（）

A

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.由平行

线得出得出对应边成比例殁=也，即可得出结果.

ABBC

'：DE//BC,

:.丛ADES/\ABC,

.AD=DE

"ABBC'

即2=工

3BC

解得：BC=6

【对点练习】（2019年内蒙古赤峰市）如图，以£分别是△/回边18,〃'上的点，ZADE=AACB,若4?=2,

AB=6,47=4,则四的长是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】应ZA=ZA,

:.△ADEs^ACB,

•AD_AEpp2__AE

"AC-AB"'1丁

解得，加'=3

【点拨】证明根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【例题3】（2020•山东泰安模拟）如图，矩形明力中，46=3遍，BC=12,后为4〃中点，尸为四上一点,

将配沿历'折叠后，点"恰好落到"•上的点G处，则折痕房的长是—.

【答案】2任.

【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当

的辅助线，连接龙，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果.

连接比；利用矩形的性质，求出EG,庞'的长度，证明比1平分再证/用。=90°,最后证△电,84

EDC,利用相似的性质即可求出砂的长度.

如图，连接6G

•.•四边形/83为矩形，

.♦.//=/390。,BC=AD=\2,DC=AB=3近,

•••£为初中点，

:.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，丝△困；

:"E=GE=6,ZAEF=ZGEF,/EGF=NEAF=9G=ND,

:.GE=DE,

:.EC斗/分4DCG,

：ZDCE=/GCE,

■：ZGEC=900-ZGCE,/DEC=9Q°-ADCE,

，乙GEg乙DEC,

:.NFEgNFEG+NGEC=Lx18Q。=90°,

2

:./FEC=/D=9Q°,

又,：4DCE=4GCE,

：./\FEC^/\EDC,

.FEEC

■'DE=DC'

:^VDE2+DC2=762+(3>/6)2=3^'

.FE3VTU

63>/6

，/^=2标

【对点练习】2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片/8C,N/S=90°,48=10,4C=6,点。为力

边上的任一点，沿过点。的直线折叠，使直角顶点，落在斜边49上的点£处，当△应应是直角三角形时，

则切的长为一

【答案】3或早24.

【解析】在aBDE中，NB是锐角，，有两种可能，NDEB或/EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即

可.

如下图，NDEB是直角时，♦..//仪7=90°，力6=10,47=6,

二BC=7102-62=8,设CD=x,则BD=8-x,

由折叠知CD=ED=x,VZACB-ZDEB=90°,

/.△BED^ABCA,.•.如=匹，即色=」_,解得x=3;

ABDB108-x

如下图,NEDB是直角时,ED〃AC,

.,.△BED<-ABAC,.•A.Ct=上F2D,即6？r解得x=2—4,

CBDB88-x7

综上，CD的长为3或上24.

7

【点拨】在ABDE中，NB是锐角，有两种可能，NDEB或/EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.

【例题4】（2020•杭州）如图，在中，点。，E,尸分别在四，BC,〃1边上，DE//AC,EF//AB.

(1)求证：XBDEs4EFC.

⑵嚷4

①若6c=12,求线段比’的长;

②若△必。的面积是20,求△/a1的面积.

【解析】见解析。

【分析】(1)由平行线的性质得出/〃反=/内位；匕DBE=4FEC,即可得出结论；

BEAF1

⑵①由平行线的性质得出77即可得出结果；

ECFC2

pr7

②先求出二=易式正MFCsXBAC,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果.

【解答】(1)证明：•・・班〃/£

・•・4DEB=/FCE,

,:EF〃AB,

:"DBE=/FEC,

:ABDESAEFC；

(2)解：QYEF"AB,

.BEAF1

…EC-FC-2’

,:EC=BC-膜=12-BE,

.BE1

••12-BE-2

解得：BE=4；

1

一,

2

•_FC2

••—，

AC3

,:EF〃AB,

:ZFCSMBAC,

・S&EFC=（££）2=A2_4

■△.一Jc一3）一9,

99

78/x20—45.

S&*K=4次=~4A

【对点练习】（2019•四川省凉山州I）如图，做=/65=90°,DB平分NADC,过点、B作战〃CD交AD于

M.连接CM交DB于M

（1）求证：BI}=AI>CD-,

⑵若折6,4g8,求扬V的长.

【答案】见解析。

【解析】证明：（1）通过证明如△成»,可得延理，可得结论;

BDCD

♦：DB*分乙ADC,

:.NADB=4CDB,且/力初=N8g90°,

:.△ABWXBCD

.AD_BD

"BD=CD

:.Bl}=A>CD

⑵由平行线的性质可证乙幽=NBDC,即可证AM=MD=MB=4,由*=/介CD和勾股定理可求MC的长,

通过证明△朗明可得理即可求"V的长.CD

CDCN3

NMBD=ABDC

：.NADB=NMBD,且ZABD=90°

BM=MD,NMAB=/MBA

：.BM=MD=4Q4

♦：Ba=A>CD,且C»=6,M=8,

.,.应/=48,

-5=12

.［必=J^+bd=28

:.MC=24

'：BM//CD

...典鳖1金，且比=2近

CDCN3

:.MN=

D

【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求,"的长度是本题的关键.

一、选择题

1.（2020•重庆）如图，△/8C与△叱位似，点。为位似中心.己知力：勿=1：2,则△4比'与△4%的面

积比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【答案】C

【解析】根据位似图形的概念求出△/1先与△〃跖的相似比，根据相似三角形的性质计算即可.

♦.•△4?。与是位似图形，OA-.OD=\：2,

...△/比、与△庞广的位似比是1：2.

...△46。与的相似比为1：2,

与△两的面积比为1：4。

2.（2020浙江绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5,且三角板的

一边长为8腐.则投影三角板的对应边长为（）

A.20c®B.10cmC.8cmD.3.2cm

【答案】A

【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.

【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xc0，

•.•三角尺与投影三角尺相似，

/.8：x=2：5,

解得A--20.

3.（2020•遂宁）如图，在平行四边形465中，N/%的平分线交〃1于点反交4。于点代交切的延长线

BE

于点G,若AF=2FD,则二7的值为（）

【答案】C

【分析】由"'=2〃E可以假设所=%则"1=24,4?=3上证明尸=2〃，DF=DG=k,再利用平行线

分线段成比例定理即可解决问题.

【解析】由"=2〃，可以假设分'=4,则胪=2%AD=3k,

•••四边形/四是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.AAFB=AFBC=NDFG,NABF=/G,

■:BE平■仅NABC,

：./ABF=NCBG,

：./ABF=NAFB=ADFG=ZG,

:.AB=CA2k,DF=DG=k,

:.CG=CMDG=3k,

-：AB//DG,

:AABEsMCGE,

.BEAB2k2

"'EG-CG-3k—3°

4.（2020•遂宁）如图，在正方形4伙力中，点〃是边比'的中点，连接DE,分别交劭、M于点只Q,

过点夕作用交"的延长线于尸，下列结论：

①//歌/£43/及心=90°,

②A—FP,

③//等40,

④若四边形勿为0的面积为4,则该正方形1腼的面积为36,

⑤CE，EF=EGDE.

其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】①正确.证明/打的=/£冗=45°,再利用三角形的外角的性质即可解决问题.

②正确.利用四点共圆证明//1仍=/45^=45°即可.

③正确.没BE=EC=a,求出即可解决问题.

④错误，通过计算正方形力比。的面积为48.

⑤正确.利用相似三角形的性质证明即可.

【解析】如图，连接组

•••四边形4时是正方形，

J.ACLBD,OA=OC=OB=OD,

:./B0C=9Q°,

,:BE=EC,

:"EOA/EOC=45°,

,?AEOB=AEDB+AOED,NEOC=NEAC+NAEO,

AEA2EAC+/EDO=/EAC+NAEa/0E讣/EDB=9Q°,故①正确，

连接AF.

'：PFLAE,

：.ZAPF=ZABF=90°,

・・・4P,B,b四点共圆,

：.ZAFP=ZABP=45°，

:./PAF=/PFA=45°,

：.PA=PF,故②正确,

设BE=EC=a,则力后花&OA=OC=OB=OD=四a,

AE\[SaVTo/IQn

二茄=疡=T'BPAE=-XA0'故③正确'

根据对称性可知，XOP%l\OQE,

.1

Sk的尸2s四边形OPE（尸2,

°：OB=OD,BE=EC,

：.CD=20E,OE"CD,

EQOE1

A—=—=△OEgXCDQ,

DQCD2

****Sk<W=4,S^CDQ=8,

S^CDO=12,

**•S正方形ABCD—48,故④错误f

・：4EPF=4DCE=9N,4PEF=4DEC,

:、XEPFSXECD,

EFPE

ED~EC"

■:EgPE,

:.CE/EF=ESDE,故⑤正确,

故选：B.

5.（202。•潍坊）如图'点£是口四口的边皿上的一点，且器连接砥并延长交缪的延长线于点片

若应=3,DF=4,则口/腼的周长为（）

A.21B.28C.34D.42

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质得力8〃再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得4?,力£,进

而根据平行四边形的周长公式求得结果.

【解析】•••四边形/腼是平行四边形，

：.AB//CF,AB=CD,

:.丛ABEs丛DFE,

.DEFD1

"AE~AB~2

6=3,DF=4,

.•.4£=6,AB=8,

.,.AD=AE+DE=&+3=<^,

，平行四边形｛及力的周长为：（8+9）X2=34.

故选：C.

6.（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆应测量建筑物的高度，已知标杆缈高1.5处测得

AB=1.2m,6c=12.8处则建筑物切的高是（）

□

□

□

A.17.5mB.17mC.16.5mD.18z»

【答案】A

【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出切的长，从而可以解答本题.

【解析】'：EBVAC,DCVAC,

：.EB//DC,

：.l\ABEs匕ACD,

.ABBE

••=,

ACCD

*/BE=1.5m,AB=1.2m,BC=12.8Hh

:・AC=AB+BC=]Am,

*1.21.5

.•1=,

14DC

解得，ZT=17.5,

即建筑物切的高是17.5m,

7.（2019•海南省）如图，在灯中，/C=90°,AA5,BC=4.点户是边〃■上一动点，过点。作图

〃四交比于点。，〃为线段偌的中点，当即平分N4a'时，心的长度为（）

Bi

邑

ch——

且B_15_C.至D.丝

A.13131313

【答案】B.

【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

根据勾股定理求出4G根据角平分线的定义、平行线的性质得到/颂，得到啰=3，根据相似三

角形的性质列出比例式，计算即可.

：NC=90°,A45,8c=4,

•・"RAB2_B、2=3,

•:PQ"AB,

：.NABD=ZBDQ,又/ABD=ZQBD,

：.AQBD=ABDQ,

QB=QI),

:.QP=2QB,

,:PQ〃AB,

:、△CPgXCAB,

.CP=CQ=PQ叩CP=4YB_2QB

**CACBAB，'V4T"

解得，

13

J.AP^CA-g比

13

二、填空题

2

8.（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将加以点。为位似中心，,为位似比作位似变换，得到△外圈,

已知4（2,3）,则点4的坐标是.

4

【解析】（92）.

【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可.

2

【解析】•・•将△/!"以点。为位似中心，弓为位似比作位似变换，得到△儿的，力（2,3）,

22

・••点4的坐标是：（一x2,-x3）,

33

即Ai（―,2）.

3

9.（2020•乐山）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点夕为力〃的中点，连结绣交力。于

【解析】

【分析】连接四，解直角三角形，用/〃表示/氏根据直角三角形的性质，用/〃表示圆再证明龙〃

隔XABFs/\CEF,由相似三角形的性质得方，进而得二便可.

CP/1C

【解析】连接绥,N47H90。，£是力〃的中点,

.,.心亭/切，CE=^AD^AE,

：.AACE=£CAE=^°

,.•/协C=30°,NABC=90°,

二AB=挈g^AD,NBAC=/ACE,

：.AB//CE,

:.△ABFs/\CEF,

10.（2020•绥化）在平面直角坐标系中，和△464的相似比等于去并且是关于原点。的位似图形,

若点/的坐标为（2,4）,则其对应点4的坐标是.

【解析】（4,8）或（-4,-8）.

【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或-2得到其对应点4的坐标.

1

【解析】・・・△力弘和△力出G的相似比等于5,并且是关于原点。的位似图形，

而点力的坐标为(2,4),

.•.点4对应点4的坐标为(2X2,2X4)或(-2X2,-2X4),

即(4,8)或(-4,-8).

三、解答题

11.(2020•泰安)小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图⑵的平面图形,

N/犷与/£•切恰好为对顶角，NABC=NCDE=9Q°,连接弧AB=BD,点厂是线段四上一点.

探究发现：

(1)当点尸为线段位的中点时，连接加(如图(2)),小明经过探究，得到结论：应U陇你认为此结论是否

成立？.(填"是"或"否")

拓展延伸：

(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BDVDF,则点尸为线段位的中点.请判断此结论是否成立.若成立,

请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

问题解决：

⑶若46=6,CE=9,求的长.

【答案】见解析。

【分析】(1)证明欧=90°可得结论.

(2)结论成立：利用等角的余角相等证明NQN的；推出用=外，再证明&>=叱即可解决问题.

⑶如图3中，取火的中点G,连接6〃则切，物.利用⑴中即可以及相似三角形的性质解决问题即可.

【解析】(1)如图(2)中,

图（2）

VZ£»C=90°,EF=CF,

:.DF=CF,

FCD=/FDC,

9：ZABC=90°,

・・・N4+N力Gff=90°,

■:BA=BD,

：.ZA=ZADB,

・・•ZACB=ZFCD=4FDC,

:./AD必/FDC=9G0,

:・/FDB=9G,

：.BDA.DF.

故答案为是.

⑵结论成立：

理由：*：BD1DF,EDLAD,

:./BDC+4CDS,/EDF+/CDS,

：・/BDC=/EDF,

•:AB=BD,

：.ZA=ZS/)a

：.ZA=ZEDF,

VZJ+ZJC®=90°,Z£+ZECD=90°,4ACB=/ECD,

，N4=NE

：・4E=4EDF,

:・EF=FD,

TN比/笈力=90°,N及¥4/&?C=90°,

：.4FCD=/FDC,

：.FD=FC,

:.EF=FC,

，点工是比的中点.

⑶如图3中，取£，的中点G,连接GD.则G仄L8D

1Q

：.DG=^EC=^

♦：BD=AB=6,

/9

=Jlz2+62=15

在RtZXMG中，BG=yJDG2+BD2v-2-2

159

工归号一尹3,

在Rt△力AC=>JAB2+BC2=V62+32=3>/5,

、：4ACB=4ECD,/ABC=/EDC,

:.XABCSAEDC,

*ACBC

••~~,

ECCD

・辿_A

••二,

9CD

：.C'D=等，

,44办旧3西+誓=笠^.

12.(2020•达州)如图，在梯形4?5中，AB//CD,N6=90°,AB=6cm,CD=2cm.2为线段8c上的一动点，

且和6、C不重合，连接以，过点巴乍皿处交射线切于点反聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进

行了研究：

(1)通过推理，他发现△改五请你帮他完成证明.

(2)利用几何画板，他改变欧的长度，运动点?，得到不同位置时，CE、的的长度的对应值：

当比=6cm时,得表1：

BP/cm••,12345

CE/cm…0.831.331.501.330.83…

当8a8cm时,得表2：

BP/cm1234567

CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…

这说明，点户在线段比■上运动时，要保证点£总在线段切上，的长度应有一定的限制.

①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在初和龙的长度这两个变量中，BP的长度为自变量,

EC的长度为因变量:

②设：BC=mcm,当点尸在线段8c上运动时，点£总在线段切上，求加的取值范围.

【解析】见解析。

【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可.

（2）①根据函数的定义判断即可.

②汲BP=xcm,CE=ycm.利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求出y的最大值即可

解决问题.

【解答】（1）证明：：/8〃功，

：.ZB+ZC=90°,

,.'NQ90°,

：.ZB=ZC=90°,

,:APLPE,

90°,

:.NAP//EPC=9Q°,

■:/EPC+4PECS,

・・・/APB=4PEC,

:.△ABP^XPCE.

(2)解：①根据函数的定义，我们可以确定，在秘和龙的长度这两个变量中，跖的长度为自变量，比的

长度为因变量，

故答案为：BP,EC.

②设BP=xcm,CE=ycm.

Y△AB/XPCE,

,ABBP

••—f

PCCE

6x

••=一,

m-xy

y=~\x+\nix=—(x-i/zd2+,

oooZ

v-1<13,

o

2

.•.户/时，y有最大值三，

/24

・・,点夕在线段切上，CD=2cm,

m2

—<2,

24

・••辰48，

・・,0V勿〈48.

D

\/E

B-------p—^c

13.（2020•枣庄）在中，ZACB=90°,切是中线，AC=BC,一个以点〃为顶点的45°角绕点〃旋转,

使角的两边分别与4C、、6c的延长线相交，交点分别为点£、F,DF与AC交于■点、M,DE与BC交千点、N.

⑴如图1,若CE=CF,求证：DE=DF；

⑵如图2,在/的'绕点。旋转的过程中，试证明切=3必'恒成立；

⑶若切=2,CF=V2,求&V的长.

【解析】见解析。

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到//切=/6（力=45°,证明也△腔；根据全等三角形的

对应边相等证明结论；

（2）证明△尸的△。阳根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论；

（3）作戊7,8G根据等腰直角三角形的性质求出用,由⑵的结论求出以，证明△研仪△2%,根据相似三

角形的性质求出A&根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】（1）证明：b=90°,AC=BC,而是中线，

：.AACD=ABCD=^°,/ACF=NBCE=9Q",

:./DCF=/DCE=135°,

在△仇尸和△腔中,

CF=CE

乙DCF=乙DCE,

DC=DC

:NCF乌MDCEkSAS

:.DE=DF；

(2)证明：VZZ?6F=135°,

：・4A4CDF=45°,

•・・N以=45°,

：.ZCDE^ZCDF=45°,

：.4F=2CDE,

・：/DCF=/DCE,/F=/CDE,

：./\FCD^/\DCE,

.CFCD

•.—,

CDCE

:.西=CE・CF；

⑶解：过点、。作。GLBC于G,

20=45°,

:.GC=GD=导CD=&,

由(2)可知，C『CE・CF,

:.CE=/=2fL

Cr

VZECN=ADGN,/ENC=/DNG,

:.△ENCS^DNG,

—————Hn----------_——

NGDG'NGy/2

14.（2020•上海）已知：如图，在菱形18切中，点从厂分别在边四、4。上,BE=DF,〃1的延长线交力的

延长线于点G,夕的延长线交BA的延长线于点H.

（1）求证：ABECs4BCH；

⑵如果就=心”£,求证：AG=DF.

【解析】见解析。

【分析】（1）想办法证明NBCE=N〃即可解决问题.

（2）利用平行线分线段成比例定理结合己知条件解决问题即可.

【解答】（1）证明：；四边形4谶是菱形，

J.CD^CB,CD//AB,

'：DF=BE,

:•丛CDMCBElSAS),

：.ZDCF=/BCE,

•・・CD//BIh

:"H=4DCF,

：2BCE=/H,

•：4B=/B,

:.△BECsRBCH.

⑵证明：•:函=AB・AE,

.BEAE

•.=,

ABEB

AG//BQ

.AE_AG

BEBC

.BE4G

•.=»

ABBC

*：DF=BE,BC=AB,

:.BE=AG=DF,

即AG=DF.

15.(2020•甘孜州)如图，48是。。的直径，。为。〃上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为。.

(1)求证：/CAD=/CAB；

AT)7

⑵若一=一，AC=2瓜求切的长.

AB3

D

C

【答案】见解析。

【分析】（1）连接oa根据切线的性质，判断出相〃*,再应用平行线的性质，即可推得〃'平分/"国；

⑵如图2,连接必设4?=2x,4?=3x,根据圆周角定理得到乙0=/49，=90°,根据相似三角形的性

质即可得到结论.

【解析】（1）证明：如图1,连接面；

图1,

,.•W是切线，：.OCLCD.

'：ADVCD,：.AD//OC,.\Z1=Z4.

•：OA=OC,AZ2=Z4,.\Z1=Z2,平分N的8；

⑵解:如图2,

图2

连接6C,

^AD_2

•=一，

AB3

.,.设49=2x,4?=3x,

•."6是。。的直径，：.ZACB=ZADC=90a,

,：ZDAC=ZCAJB,：./\ACD^^ABC,

.些AC_2x__2V6

'就=而'‘乖=宝’

；.x=2（负值舍去），

：.AD=\,

：.CI)=>JAC2-AD2=2VI.

16.(2020•宁波)【基础巩固】

⑴如图1,在△月比中，。为初上一点，ZACD^ZB.求证：〃=ADAE.

【尝试应用】

(2)如图2,在口4?5中，E为BC上一一点、,尸为切延长线上一点，4BFE=NA.若BF=4