八年级下册数学-二次根式的乘除

第2讲二次根式的乘除

【板块一】最简二次根式方法技巧满足以下两点的二次根式，就叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.逆用乘法公式：abb=、〃.拓(a≥0,b≥0).题型一最简二次根式【例1】下列二次根式中，为最简二次根式的是(B)A.√45 B.Yx2+产 C.Ib D.%T7aa【分析】√45=√975含平方因数9,A不是最简二次根式；C的被开方数是分式；D的被开方数是分数，只有B符合最简二次根式条件，故迭B.【解答】B题型二在实数范围内分解因式【例2】分解因式：(1)x4—9；(2)4x2—32；(3)x2—222x+2,(4)x2—6x+7.【解答】⑴x4—9=(x2—3)(x2+3)=(x+\：3)(x—√3)(x2+3)；(2)4x2-32=4(x2-8)=4(x+2√2)(x—2√2)；(3)x2—2√2x+2=x2—2√2x+(√2)2=(x—√2)2；(4)x2—6x+7=x2—6x+9—2=(X—3)2—(√2)2=(x—3+√2)(x—3—√2),题型三二次根式根号外与根号内的因式互移【例3】已知a<b，化简二次根式*匚菽的正确结果是( A)A.—a-√-ab B.—aaab C.aaab D.α∙√-ab【分析】依题意，得一a3b≥0,a3b≤0,又a<b,Λa<0≤b或a≤0<b,√-a3b=Ja2∙√-ab=IaI√-ab==—a-∙,—ab，故选A.【解答】A【例4】设、∙∙x=ɪ—A，则√4X7X2的值为(b)aA.a—1aC.a+1aB.一aD.不能确定【分析】yx=-=—ad,.∙.x=—+a—2,，0<a≤1.•，•\4x+x2=%：(x+2)2—4=(—Fa)2—4aα a da=,'(1—a)2=1—a，故选B.aaa【解答】B【例5】如果非零实数a,b满足信=—ab-,b，那么点(a,b)在( B)A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【分析】依题意得Ja石=式ab)2b=IabI√b^=—abbb.Λb>0,—ab>0.Λab<0,Λa<0,点(a,b)在第二象限.故造B.【解答】B.针对练习11.下列计算：①C2)=2；②{(—2>=2；③(一2<3)2=12；®(√2+√3)(√2—<3)=—1.其中正确的有(D)A.1个 B.2个C.3个 D.4个【解答】①正确；②%五E=√4=2正确；③正确；④原式=(<2)2—(<3)2=2—3=—1,正确，故选D..已知历是整数，则满足条件的最小正整数n为―5.【解答】、诲=√32万=3√5n为整数，5n为平方数，整数n的最小值为5..观察分析下列数据，寻找规律：0,χ3,√6,3,2√3,v15,3√2，…，那么第10个数应是―3√3―.【解答】0=√0^3,√3=√1^3,√6=√2^3,3=√3^3,2v3=√4^3，…，第10个数为√9^3=3√3..已知Xy<0,则化简后为(B)A.xVy B.—Xvy C.Xv-y D.—x%.■—y.阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答.已知a为实数，化简•默—a.,■,—1.解原式=a——a—a,一√—a=(a—1)上'—a.a【解答】不正确，由题知a<0,.∙.原式=Iah二a—a∙3=—a、；—十二a=(1—a)、工.IaI6.若0<a<1,则化简：(a-1)2+4+h■'(a+1)2-4的结果是(D)aa2D.2aA．－2aB．2aC．【解答】.,'(a-1)2+4+：(a+1)2-4C1一：C1 /a2-2+ +4+,，a2+2+ 4=Ja2+2+—+aa2—a1aaa2；.a—<<0,

aa2Ya2-2+i=∖1

原式=Ia+ɪI+I

a1(aH—)2+.,(a )2,∙.∙0<a<1,aaaaa—1|=a+1+1—a=2.aa【板块二】分母有理化与分子有理化方法技巧二次根式的运算中,一般要将最后结果化为最简二次根式或整式,且结果的分母中不含有二次根式，分母中含有二次根式的，要进行分母有理化，将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，如、；a的有理化因式是土、"，Q土五的有理化因式是、Ia干Q.题型四分母有理化【例1】已知a=√5+、巧A.a=b B.ab=1【例2】观察下列等式：b=C.a=—b则a与b的关系是()D.ab=－522+1 (√2+1)(√2-1)22-1:②√3+∖2 (√3+√2)(√3-、②①1五-1，，1、3-22=■√3—√2；③1Y4-CV4+√3 (V4+√3)(√4-1；13)=V4—√3；…回答下列问题：⑴利用你观察到的规律，化简：——;2√3+X11111 1(2)计算：K+ +K+…+37^!0.【例3】若实数x,y满足(x—、口2-2019)G—%y2-2019)=2019.⑴求x,y之间的数量关系；(2)求3x2—2y2+3x—3y—2018的值.题型五分子有理化【例4】已知：X=√13—v12,y=113+V五+1(1)求证：%>y；(2)求-的整数部分.y针对练习2.已知a=-J—,b=-J-，贝UVa2+b2+7的值为( )v5—2 、5+2A.3 B.4 C.5 D.6.(——=+」.一+-=--÷ ÷—= )×11.1+`w2 V2+Y3Y3+2 ∙√99+10.如果-ɪ的整数部分是a，小数部分是b，则a=3—v7 b4.已知a=√2012—√2011,b=√2013—√20112,C=√2014—√2013，比较a,b,C大小.5.已知工；2017--+V2016—-=3,求、：2017—%—√2016—%的值.6.已知a=22—1,b=√3—v'2,C=Y6—2,那么a,b,C的大小关系是( )A.a<b<c B.a<C<b C.b<a<C D.b<C<a【板块三】二次根式的乘除运算方法技巧运用aα∙bb=abb(a≥0,b≥0)和Yab=√a∙-Vb(a≥0,b三0)进行计算和化简；利用H)qb(a≥0,b>0)和∖,''b=ʌl(a≥0,b>0)进行计算和化简.题型六二次根式乘除计算【例1】(7—5V2^)2018∙(—7—5V2^)2019=【例2】计算：⑴(3√2+2√3)(3√2—2，；3)；(2)(√5—√3+√2)(√5—V3—√2)；(3)(3√3+222)(2\3—3√2)；(4)(3+2√2)12∙(2√2—3)11+(3V3—K)2；/八/7、 ,32018+152018(5)(-)1009∙,1 .3 V72018+352018题型七化简求值【例3】当一3≤%≤2时，化简：I%—21+q(x+3>+Yx2—10x+25.【例4】已知X+-=77，求：⑴X2+—；⑵X—LX X2 X【例5】已知X=后+后，y=币-忑，贝IX2—Xy+y2的值是 .22【例6】若a>0,b>0,且αα(aa+bb尸3bb(a++5Vb),求2a+3b+W的值.a—b+-Xab针对练习33+√2 √3—√2 y X.已知X=——=,y=——=,求土+一的值.V3—、•72 V3+v2 X y.若X=一一，则X2—2X+3的值为.γ3—1.当X=-,y=-时，求Cx一'、'