2022-2023学年福建省厦门市高一下学期6月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．若复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则复数（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据对称性求出，再利用复数除法求解作答.【详解】复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则，所以.故选：D2．为了提高学习兴趣，某数学老师把《九章算术》与《孙子算经》这两本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班甲、乙两名同学每人至少阅读其中的一本，则每本书都被同学阅读的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】把《九章算术》与《孙子算经》两本书分别记作，，则甲、乙两名同学所有可能阅读情况有，，，，，，，，共个结果，其中满足每本书都被同学阅读的有，，，，，，共个结果，所以每本书都被同学阅读的概率.故选：D.3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（

）A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥C．A与B相等 D．P(A)=P(B)【答案】D【分析】先把抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果都罗列出来，然后再把事件A和事件B包含的可能结果找出来，然后根据事件对立、互斥、相等的定义即可判断ABC选项；对于D选项，只要根据古典概型的概率计算公式计算出事件A和事件B的概率即可判断.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果，事件A包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B包含的结果有：（正，正），（反，正）2种，显然事件A和事件B都包含（正，正）这一结果，即事件A和事件B能同时发生，所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误；事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故选项C错误；由古典概型得,所以,故选项D正确；故选：D.4．为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组[30,40，第二组[40,50，第三组[50,60，第四组[60,70，第五组[70,80，第六组[80,90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第70百分位数位于的区间为（

）

A．[50,60 B．[60,70C．[70,80 D．[80,90]【答案】B【分析】由频率和为1求参数a，再根据百分位数的定义确定第70百分位数所在区间.【详解】由，则，又，所以第70百分位数位于的区间为[60,70.故选：B5．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，则A的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设及和角正弦公式、三角形内角性质得，进而有，即可得大小.【详解】由，则，又，故，且，则.故选：C6．在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】将作为基底，用基底表示和，根据数量积的规则计算即可.【详解】

设，则有，由余弦定理得，，其中，，解得，；故选：C.7．已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】把三个向量平移到同起点，由向量运算及得，从而，又由得点在以为圆心半径为1的圆面上（包括边界），利用数量积的几何意义求得，再利用三角形相似求OD长度即可求出最值.【详解】设，，，，，则如图所示，因为，所以，即，所以，因为，，所以，，由，可得点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点作的垂线，垂足为，且与相切，延长交于，则，此时∽，根据相似知识可得，所以，所以的最大值为，故选：D.8．已知三棱锥的体积为，外接球面积为9π，且，，．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，由外接球面积公式可求出外接球的半径，再由三棱锥的体积公式可求出三棱锥的高，当时，最小，求解即可.【详解】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，由，，，由余弦定理可得：，故，则，又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为，所以，解得：，设是球心，是的外心，是在平面的投影，，解得：，

则，，由，由，当时，最小，此时，则.故选：A.二、多选题9．为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测．某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（

）A．乙同学体温的极差为B．甲同学体温的中位数与平均数相等C．乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小D．甲同学体温的第60百分位数为【答案】BCD【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.【详解】由乙同学的体温折线图可知体温的极差为：，故A错误；甲同学的体温由低到高分别为：，所以中位数为：，平均数为：，故选项B正确，根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数为，但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；对于D选项，由，在B选项中甲同学的体温从小到大排列知，甲同学体温的第60百分位数为，故D选项正确.故选：BCD.10．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在向量上的投影向量为C．若，则为的中点D．若在线段上，且，则的取值范围为【答案】BD【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，设，则，整理得到，，，，设，对选项A：，，，错误；对选项B：，，，即投影向量为，正确；对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：，，，，，整理得到，，故，正确.故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.11．设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（

）A．最小值为 B．没有最小值 C．最大值为2 D．没有最大值【答案】AD【分析】在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，利用复数的几何意义及向量的加法和平面向量数量积，将进行等价变形，然后结合已知条件及均值不等式即可判断的最值情况.【详解】解：在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，因为是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，所以，从而有），所以，又由均值不等式有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，且（比如）时等号成立.故选：AD.12．在三棱锥P-ABC中，，，，O为的外心，则（

）A．当时，PA⊥BCB．当AC=1时，平面PAB⊥平面ABCC．PA与平面ABC所成角的正弦值为D．三棱锥A-PBC的高的最大值为【答案】ABC【分析】由条件得几何体的结构特征，分析位置关系及数量关系.【详解】对于A项，因为，且，所以为等边三角形，又，所以三棱锥P-ABC为正三棱锥，正三棱锥的侧棱与底面相对的边互相垂直，所以PA⊥BC，A正确；对于B项，因为O为的外心，且．所以点P在平面ABC的射影为点O，所以PO⊥平面ABC．又，，，所以为直角三角形，．所以点O为AB的中点，又平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，B正确；对于C项，由B项可知PO⊥平面ABC，又平面ABC，所以PO⊥OA，所以∠PAO即为直线PA与平面ABC所成的角．设外接圆半径为r，则由正弦定理可得，所以，所以，故，C正确；对于D项，在中，，，由余弦定理可得，故，所以，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，当且仅当时等号成立．所以．设三棱锥A-PBC的高为h，因为，即，所以．故三棱锥A-PBC的高的最大值为，D错误．故选：ABC【点睛】三棱锥A-PBC的高不易直接求解，故通过等体积法间接求解，外接圆半径问题可以与正弦定理相结合，三角形中最值问题可以与余弦定理及基本不等式知识相结合.三、填空题13．复数的虚部为（其中i是虚数单位）．【答案】/【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部.【详解】，故虚部为.故答案为：14．某校高三年级有女生520名，男生480名，若用分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取名.【答案】96【分析】根据分层抽样的定义，计算男女生比例，即可计算求解.【详解】由已知得女生与男生的比例为：，根据分层抽样的定义，男生应该抽取的人数为：（人）故答案为：96.15．已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是．【答案】/【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值．【详解】如图，设，，若对任意实数，都有，成立，则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，．设，则，，，，则当时，有最大值为．故答案为：.16．在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为v（km/h），同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，则小船被此人追上的最大速度为．【答案】【分析】设岸边停放小船处为O，此人在岸边跑到A点后下水，在B处追上小船，人追上船所用时间为，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，则人、船运动的路线构成一个三角形，由余弦定理可得，要使此关于的方程在内有实数解，解得，从而即可得答案.【详解】解：由题意，当人沿岸边跑的轨迹和人在水中游的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.由题意，当时，人不可能追上船，当时，人不必在岸上跑，从同一地点直接下水就可追上小船所以.设岸边停放小船处为O，此人在岸边跑到A点后下水，在B处追上小船，人追上船所用时间为，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人、船运动的路线满足如图所示的三角形.因为，，所以由余弦定理得，即，所以，要使此关于的方程在内有实数解，则有，且，解得，所以当时，人能追上小船，所以小船被此人追上的最大速度为.故答案为：.四、解答题17．如图：在中，，，与交于点，设.

(1)若，求，的值；(2)在线段上取一点，线段上取一点，使得过点，设，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据共线得到，故，结合得到，同理由共线得到，从而求出；（2）由（1）知，由，，三点共线得到，从而得到，从而证明出结论.【详解】（1），，三点共线，存在非零实数使得，，又，，故①，又，，三点共线，存在非零实数使得，，又，∴，解得②，由①②解得：；（2）证明：由（1）知，，，三点共线，存在非零实数使得，，消去得．18．2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．

(1)求出直方图中m的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．【答案】(1)(2)平均数为71，中位数为73.33(3)一等品有3个和二等品有2个．【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1即可求解；（2）根据频率分布直方图中平均数和中位数计算公式即可求解；（3）由分层抽样规则求解即可.【详解】（1）由，得．（2）平均数为，因为，，所以中位数在第4组，设中位数为n，则，解得，所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个，二等品有个，所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个．19．在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点P的位置，如图②．(1)证明：；(2)若平面，且，求点C到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；（2）根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用等积法结合条件即得.【详解】（1）证明：在图1中，因为，且为的中点，，又为的中点，所以，在图2中，，且，平面，平面，又平面，所以；（2）因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，连接，则，因为，为等边三角形，所以，，，所以，取的中点，连接，则，设点到平面的距离为，，即，解得，即点到平面的距离为．20．据城市《生活饮用水卫生标准》要求菌落总数必须小于等于130（单位：CFU/mL）才合格，否则视为不合格饮用水．某省环保厅对甲、乙两地各抽取5个自来水厂进行菌落总数检测，所得数据如下表所示（单位：CFU/mL）．其中有两个乙地的自来水厂检测数据不准确，在表中用x，y表示．甲水厂80110120140150乙水厂100120xy160(1)从被检测的5个甲地自来水厂任取2个，求这2家自来水厂菌落总数都不超标的概率；(2)若5个乙地自来水厂菌落总数的平均值为120CFU/mL，且，求乙地自来水厂菌落总数的方差的最小值．【答案】(1)(2)440【分析】（1）运用列举法求得古典概型的概率即可.（2）运用平均数、方差公式计算得，转化为求二次函数在区间上的最值即可.【详解】（1）从被检测的5家甲地自来水厂任取2家，其检测结果有：，，，，，，，，，共10种．设“2家自来水厂菌落总数都不超标”为事件A，则事件A包含以下3种不同结果：，，．所以．（2）由题设，，则．所以，又因为，所以当时，取得最小值为440．21．如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.(1)求证：；(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明.（2）由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面平面.所以（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.因为异面直线与所成角的正切值为，所以，即又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.因为为正三角形所以，从而由已知E，F分别是的中点，所以则，所以，所以，因为，所以可设，平面的一个法向量为，则，取，得，又，则.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的取值范围为.22．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十