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文档简介
河北省沧州市任丘星火中学2021年高一数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数是上的奇函数,且当时,函数的图象如右图所示,则不等式的解集是A.
B.C.
D.参考答案:D略2.化简下列式子:其结果为零向量的个数是(
)①
;
②;③;
④A.1
B.2
C.3
D.4参考答案:D3.点P在直线上,O为坐标原点,则│OP│的最小值是(
)A.2
B.
C.2
D.参考答案:C4.已知,,,则、、的大小关系是A.
B.
C.
D.参考答案:D5.函数y=的图象是()A. B. C. D.参考答案:B【考点】函数的图象.【分析】先根据得到函数为奇函数,关于原点对称,排除A,C,再根据增长的快慢程度,排除D.问题得以解决.【解答】解:设f(x)=,∴f(﹣x)=﹣=﹣f(x),∴函数f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,故排除A,C,∵f(x)=增长越来越慢,故排除D.∴选项B符合,故选:B.6.设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c且,,则△ABC周长的取值范围为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C7.如图(1)四边形ABCD为直角梯形,动点P从B点出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP面积为.若函数的图象如图(2),则△ABC的面积为().A.10 B.16 C.18 D.32参考答案:B由题意,当P在BC上时,;当P在CD上时,.图(2)在,时图象发生变化,由此可知,,.根据勾股定理,可得,所以.故本题正确答案为.
8.甲、乙两名同学在5次数学考试中,成绩统计图用茎叶图表示如图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示,则下列结论正确的是()A.,且甲比乙成绩稳定 B.,且乙比甲成绩稳定C.,且甲比乙成绩稳定 D.,且乙比甲成绩稳定参考答案:A【分析】利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差,分别比较这两个数的大小,可得出结论。【详解】由茎叶图可知,甲同学成绩的平均数为,方差为,乙同学成绩的平均数为,方差为,则,,因此,,且甲比成绩稳乙定,故选:A。【点睛】本题考查茎叶图,考查平均数和方差的计算,在求解有关茎叶图中数据的计算时,先将数据由小到大或由大到小排列,结合相关公式进行计算,考查计算能力,属于中等题。9.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AA1⊥底面A1B1C1,主视图是边长为2的正方形,该三棱柱的左视图面积为()A.4 B.
C. D.参考答案:B【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题.【分析】由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱,结合正视图,俯视图,不难得到侧视图,然后求出面积.【解答】解:由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱,底面边长为2,侧棱长2,结合正视图,俯视图,得到侧视图是矩形,长为2,宽为面积为:故选B.【点评】本题考查由三视图求侧视图的面积,是基础题.10.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,,,,则B=(
)A.B=30°或B=150° B.B=150°C.B=30° D.B=60°参考答案:C【分析】将已知代入正弦定理可得,根据,由三角形中大边对大角可得:,即可求得.【详解】解:,,由正弦定理得:故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系,考查了推理能力与计算能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则可以归纳出一般结论:当n≥2时,有
▲
.参考答案:f(2n)>12.函数和的图象关于直线对称,则的解析式为.参考答案:
13..函数的定义域是________参考答案:[0,2]【分析】利用反函数定义域直接求解即可【详解】由题故答案为【点睛】本题考查反三角函数的定义域问题,准确计算是关键,是基础题14.已知△ABC是锐角三角形,P=sinA+sinB,Q=cosA+cosB,则P与Q的大小关系为.参考答案:P>Q考点:两角和与差的余弦函数;三角函数线;两角和与差的正弦函数.
专题:三角函数的求值.分析:作差由和差化积公式可得P﹣Q=2cos(sin﹣cos),由锐角三角形角的范围可判每个式子的正负,由此可得结论.解答:解:由题意可得P﹣Q=(sinA+sinB)﹣(cosA+cosB)=2sincos﹣2coscos=2cos(sin﹣cos)∵△ABC是锐角三角形,∴A+B=π﹣C>,∴>,∴sin>cos,由A和B为锐角可得﹣<<,∴cos>0,∴P﹣Q>0,即P>Q,故答案为:P>Q.点评:本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及和差化积公式及三角函数的值域,属中档题.15.已知集合,试用列举法表示集合=
参考答案:{2,4,5}
略16.若是奇函数,则常数a的值为____________.参考答案:
17.
在等差数列中,则的值为
▲
.参考答案:24三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.(1) 求函数的最小正周期;(2) 若的图像经过点,求函数在区间上的取值范围.参考答案:19.有甲、乙两种商品,经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元.它们与投入资金x万元的关系是:,q=.今有3万元资金投入经营这两种商品,为获得最大利润,对这两种商品的资金分别投入多少时,能获取最大利润?最大利润为多少?参考答案:解:设对乙商品投入资金x万元,则对甲投入资金为(3﹣x)万元,此时获取利润为y万元;则由题意知,.令,则y=﹣t2++=(其中0≤t≤);根据二次函数的图象与性质知,当t=时,y有最大值,为;又t=,得=,∴x==2.25(万元),∴3﹣x=0.75(万元);所以,对甲投入资金0.75万元,对乙投资2.25万元时,获取利润最大,为万元考点:函数模型的选择与应用.专题:应用题.分析:如果设对乙商品投入资金x万元,则对甲投入资金为(3﹣x)万元,获取的利润为y万元;那么y=p+q,代入可得关于x的解析式,利用换元法得到二次函数f(t),再由二次函数的图象与性质,求导y的最大值,和对应的t、x.解答:解:设对乙商品投入资金x万元,则对甲投入资金为(3﹣x)万元,此时获取利润为y万元;则由题意知,.令,则y=﹣t2++=(其中0≤t≤);根据二次函数的图象与性质知,当t=时,y有最大值,为;又t=,得=,∴x==2.25(万元),∴3﹣x=0.75(万元);所以,对甲投入资金0.75万元,对乙投资2.25万元时,获取利润最大,为万元.点评:本题考查了换元法的应用,运用换元法解题时,要注意换元前后函数自变量取值范围的变化,以免出错.20.如果函数f(x)在定义域内存在区间[a,b],使得该函数在区间[a,b]上的值域为[a2,b2],则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”.(1)求证:函数f(x)=log2(x+1)是“和谐函数”;(2)若函数是“和谐函数”,求实数t的取值范围.参考答案:(1)要证:存在区间使得在上的值域为,又由于是一个单调递増的函数,且定义域为故只需证存在实数满足,且有观察得,即存在符合题意故函数是“和谐函数”(2)由题,即存在实数满足,使得在区间上的值域为,由于单调递増,从而有,该方程组等价于方程在有至少2个解,即在上至少有2个解,即和的图像至少有2个交点,记,则,从而有,记,配方得,又,作出的图像可知,时有两个交点,综上,的取值范围为.21.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且,.(1)求Sn;(2)记,求Tn.参考答案:(1),解得,所以;(2),.22.已知向量=(1,0),=(1,1),=(﹣1,1).(Ⅰ)λ为何值时,+λ与垂直?(Ⅱ)若(m+n)∥,求的值.参考答案:【考点】平面向量的坐标运算.【专题】计算题;方程思想;定义法;平面向量及应用.【分析】(Ⅰ)先求出+λ,再由+λ与垂直,利用向量垂直的性质能求出结果.(Ⅱ)先求出,再由(m+n)∥,利用向量平行的性质能求出结果.【解答】解:(Ⅰ)∵向量=(1
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