2022-2023学年江苏省连云港市灌云县高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省连云港市灌云县高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z满足(1+i)z=A.1+i B.−i C.−2.向量a=(cos20A.10° B.20° C.30°3.已知|a|=1，|b|=3，a与b的夹角为135A.455b B.234.在菱形ABCD中，若AC=A.4 B.−4 C.2 D.5.西昌市某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°且C，DA.9米 B.12米 C.133米 D.6.在△ABC中，若asinB=A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7.△ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c.若b=3，A.27 B.32 C.8.已知单位向量e1，e2满足e1⋅e2=12，若非零向量a=A.22 B.33 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知向量a=(3,−1A.a⋅b=5 B.|a−10.下列说法正确的是(

)A.若z1、z2互为共轭复数，则z1z2为实数

B.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i

C.若1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(11.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是A.若A=60°，a=9，b=8，则△ABC有一解

B.若A=30°，a=3，b=43，则△ABC有一解12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是A.若sinB=sinC，则B=C

B.若AC⋅AB>0，则△A三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若i为虚数单位，且a=1+i1−14.若△ABC的面积为a2+b215.cos10°(16.在△ABC中，cos∠ABC=13，四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z=m2−4m−12+(m2−9)i，其中m∈18.(本小题12.0分)

已知向量a=(1,2),b=(−1,3)，c=(λ,19.(本小题12.0分)

已知向量a=(sinθ,−1)与b=(2,cosθ)互相垂直，其中θ20.(本小题12.0分)

在①cosBcosC=−b2a+c，②sinAsinB−sinC=b+ca+c，③2S=−21.(本小题12.0分)

已知向量a=(cos3x2,sin3x2)，b=(cosx2,−sinx2)，函数f(x22.(本小题12.0分)

在边长为4的等边△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC．

(1)若P为△ABC内部一点(不包括边界)，求PB⋅PC的取值范围；

(2)若AD上一点K满足DK=2KA，过K作直线分别交

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由(1+i)z=2i可得z=2i1+i=2i⋅2.【答案】A

【解析】解：因为|a|=|b|=1,a⋅b=cos20°co3.【答案】C

【解析】解：|a|=1，|b|=3，a与b的夹角为135°，

a在b方向上的投影向量为a⋅4.【答案】D

【解析】解：连接AC，BD交于点O，

则OA⊥OB，OA=1，

所以CA⋅5.【答案】B

【解析】解：设AB=x，由图利用直角三角形的性质可得：BC=AB=x，BD=3x，

在△BCD中，由余弦定理可得：3x2=x2+122−2⋅12x6.【答案】D

【解析】解：已知asinB=3bcosA，

则sinAsinB=3sinBcosA，

则tanA=3，

即A=π3，

又7.【答案】C

【解析】解：因为a2+c2−3ac=b2，由余弦定理cosB=a2+c2−b22ac=32，又0<B<π，故B=π6，

由正弦定理知：bsinB=asinA=csinC=8.【答案】B

【解析】解：∵单位向量满足e1⋅e2=12，a=2xe1+ye2，

∴a2=4x2+y2+2xy，即|a|=9.【答案】AC【解析】解：A：∵向量a=(3,−1)，b=(1,−2)，∴a⋅b=3×1+(−1)×(−2)=5，故A正确；

B：∵a−b=(2,10.【答案】AC【解析】解：对于选项A：设z1=a+bi，则z2=a−bi，

所以z1z2=(a+bi)(a−bi)=a2+b2为实数，故A正确；

对于选项B：因为i4n+3=i3=−i，n∈N*，故B错误；

对于选项C：若1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根，

则a(1+i)11.【答案】AC【解析】解：对于A，由于sinB=basinA=439<1，又b<a，故B只能为锐角，所以△ABC有一解，选项A正确．

对于B，由于sinB=basinA=233>1，于是△A12.【答案】AC【解析】解：对于选项A：若sinB=sinC，

由正弦定理可得b=c，

所以B=C，故A正确；

对于选项B：若AC⋅AB=bccosA>0，即cosA>0，

可得A为锐角，

但不能确定B，C是否为锐角，故B错误；

对于选项C：若AC⋅AB>|AB|2，

则bccosA=bc×b2+c2−a22bc>c2，

整理得a2+c2−b2<0，

则cosB=a2+13.【答案】i

【解析】解：由于a=1+i1−i=(1+i)214.【答案】45°【解析】解：由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcosC，

因为△ABC的面积为a2+b2−c2415.【答案】2

【解析】解：cos10°(1+3tan10°)s16.【答案】8【解析】解：由于AD=3DC，

所以BD=BA+AD=BA+34AC=BA+34(BC−BA)=14BA+34BC，

17.【答案】解：(1)因为复数z=m2−4m−12+(m2−9)i，z为纯虚数，

所以m2−4m−12=0m2−9≠0，解得m=6【解析】(1)由题知m2−4m−12=18.【答案】解：(1)由题意可得：

|a|=12+22=5,|b|=(−1)2+32=10,a【解析】(1)根据向量数量积和模长的坐标运算求解；

(2)先求a19.【答案】解：(1)因为a与b互相垂直，则2sinθ−cosθ=0，即cosθ=2sinθ，

又因为sin2θ+cos2θ=sin2θ+4sin2θ【解析】(1)根据向量垂直，结合同角三角关系可得sinθ=5520.【答案】解：(1)若选①：因为cosBcosC=−b2a+c，即(2a+c)cosB=−bcosC，

由正弦定理可得(2sinA+sinC)cosB=−sinBcosC，

整理得2sinAcosB=−(sinBcosC+cosBsinC)=−sin(B+C)=−si【解析】(1)若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；若选②：利用正、余弦定理运算求解；若选③：根据面积公式以及数量积运算求解；

(2)设∠BAC=θ∈21.【答案】解：(1)向量a=(cos3x2,sin3x2)，b=(cosx2,−sinx2)，

函数f(x)=a⋅b−m|a+b|+1

=cos3x2cosx2−sin3x2sinx2−m(a+b)2+1

=cos(3x2+x2)−m|a|2+|b|2+2a⋅b+1

=cos2x−m2+2cos2x+1=cos2【解析】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大．

(1)利用向量数量积的公式化简函数f(x)，求出函数f(x)的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性