“变”中之“不变”-关于一道题的解法研究与改编 论文

“变”中之“不变”——关于一道题的解法研究与改编摘要：通过一道题的解法研究，总结问题的本质，改编试题.关键词：解法研究反思改编《义务教育数学课程标准（2022版）》在对数学“课程性质”简述中写到“基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。”数学是研究数量关系和空间形式的科学.笔者认为：数学是研究事物的数量关系和图形空间关系的一门学科，从错综复杂的数量关系和空间关系中寻找不变的规律，在整个过程中用数学特有的符号语言进行推理和表达。一、试题呈现在正方形ABCD和正方形AEFG中，分别连接AC、AF、CF，点H为CF的中点.（1）如图1，当点F、G分别在线段AB、AC上，求∠BHG的度数.（2）如图2，当点E、F、G分别在线段AB、AC、AD上，求证：GH=BH.（3）如图3，当点G在线段AB上，若AB=2AE=2，求△BGH的面积.图2图3图1二、解法分析第（1）题用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”、“等边对等角”、“外角的性质”易求∠BHG的度数.第（2）题解法较多，通过作垂线、作平行线、延长一倍的中线、连接中线等方法构造全等，结合使用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”等结论证明GH=BH.解法一：如图4，连接DH，△CDH≌△CBH证得DH=HB；过H点作HI∥CD，由等分线段定理，得：DI=IG，再由垂直平分线的性质得到GH=DH，从而得出图4GH=BH.解法二：图5如图5，过F点作FI⊥BC，垂足为I点，连接HI，HI是Rt△FIC斜边上的中线，△GHF≌△BHI，直接证得GH=BH.解法三：如图6，分别延长DC和GH，交于I点，再连接DH，△CHI≌△FHG，DH是Rt△GDI斜边上的中线，得到DH=GH，又△CDH≌△CBH可得DH=BH，所以GH=BH.图6解法四：图7如图7，过H点作CD和GF延长线的垂线，垂足分别为J和I点，△CJH≌△FIH，得到HI=HJ，再证△DHJ≌△GHI，DH=GH=BH.解法五：如图8，过H点作BC和AD的垂线，垂足分别为I和J点，延长EF交IJ，并垂直于IJ.先证明△CHI≌△FHK，得到KF=IC=IH，再证△GJH≌△HIB，得证.图8解法六：图9如图9，延长GH和DC交于I点，连接BI和GB，先证△GHF≌△IHC，再证△GAB≌△ICB，得证.解法七：如图10，延长EF交CD于I点，连接DH、IH，由前面证得DH=BH，现图10图11证△DIH≌△GFH，最后得到BH=DH=GH.解法八：如图11，过H点作BC、AD的垂线，垂足分别为I、J点，由前面方法已证DI=IG=CJ=HJ，所以IH=JB，易证△HIG≌△BJH，得证GH=BH.图12解法九：图13如图12，连接HE，先证△GHF≌△EHF，得到GH=EH；过H点作HI⊥AB，垂足为I点，因H是CF中点，BC∥HI∥EF，所以EI=IB，所以EH=BH，最后得证.解法十：如图13，过H点分别做HJ⊥BC、HI⊥GF，垂足为J、I点，先证△CHJ≌△HFI，图14图15再证△HGI≌△HBJ，从而得证.第（3）题解法一：如图14，延长GH交BC于点I，易证△CHI≌△FHG，证得GH=IH，所以△BGH的面积等于△GBI面积的一半.解法二：延长CB和EF交于点I，过H点作BC和AB的垂线HJ和HK，垂足分别为J、K点.易证HJ是△CFI中位线，四边形HJBK是正方形，求得△BGH的面积.三、思考与改编此题是共顶点的两个正方形AEFG和正方形ABCD，将正方形ABCD固定，正方形AEFG绕A点旋转，不论在什么位置GH⊥HB且GH=HB，所以本题我们可以如下设置问题：在正方形ABCD和正方形AEFG中，分别连接AC、AF、CF，点H为CF的中点.（1）如图16，当点E、F、G分别在线段AB、AC、AD上，猜想线段GH和HB的关系，并证明；（2）如图17，将正方形AEFG绕A点旋转，旋转的过程中上述结论依然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例.（3）如图18，当点G在线段AB上，若AB=2AE=2，求△BGH的面积.图16图17图18原题设置的三个小题都是三种特殊位置时的情况，并且要求解和求证的问题比较零散，题与题之间没有逻辑关系，不利于问题本质的探究和发现。改编后的问题设置由易到难、由浅入深、层层递进，从特殊到一般再到特殊，通过一道题三个小问题弄清楚问题本质——两条线段长度相等、相互垂直，启发学生在变化中寻找不变的数量关系和空间关系.参考文献[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.[2]许芬英.数学命题技术研究[M].杭州：浙江教育出版社，2017.[