导数的几何意义同课异构

1.1.3导数的几何意义[目标导航]课标要求1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.2.弄清函数在x=x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别与联系,会求导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.素养达成通过对导数几何意义的学习,培养学生抽象概括、直观想象、数学运算的核心素养和数形结合的思想方法.新知导学课堂探究1.导数的几何意义(1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然割线PPn的斜率是kn=

,当点Pn无限趋近于点P时,kn无限趋近于切线PT的斜率.新知导学·素养养成(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=

=

.2.导函数的概念从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个

的数.这样,当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称

).y=f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)=y′=

.f′(x0)确定导数名师点津(1)导数几何意义的理解①利用导数求曲线的切线方程,先求出y=f(x)在x0处的导数f′(x0),则切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);②若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数为f′(x0).f′(x0)>0,切线与x轴正向夹角为锐角;f′(x0)<0,切线与x轴正向夹角为钝角,f′(x0)=0,切线与x轴平行.(2)“函数f(x)在点x0处的导数”与“导函数y=f′(x)”两者之间的区别与联系①“函数在某一点处的导数”,就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限,它是一个数值,不是变数;题型一课堂探究·素养提升求曲线在某点处的切线方程[例1]已知曲线C:y=f(x)=x3+2x-1,求曲线在点P(1,2)处的切线方程.当Δx无限趋近于0时,3x2+2+3x·Δx+(Δx)2无限趋近于3x2+2,即f′(x)=3x2+2,所以f′(1)=5.故点P处的切线斜率为k=5.所以点P处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.方法技巧(1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤①求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0);(2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.答案:2x-y-2=0或2x-y+2=0(2)写出点P处的切线方程.题型二求切点坐标[例2]曲线y=x2在某点P处的切线满足下列条件,分别求出P点.(1)平行于直线y=4x-5;(2)与x轴成135°的倾斜角.[一题多变]本例条件不变,切线垂直于直线2x-6y+5=0,求点P的坐标.方法技巧求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标为(x0,y0).(2)求导函数f′(x).(3)求切线的斜率f′(x0).(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.答案:(1)(-1,-1)(2)曲线f(x)=2x2-x在点P处的切线与直线x+y-1=0垂直,则点P的坐标为

.

[备用例3]已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切点的坐标.(1)切线的倾斜角为45°;(2)切线平行于直线4x-y-2=0;(3)切线垂直于直线x+8y-3=0.解:(2)因为抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,所以k=4,即f′(x0)=4x0=4,得x0=1,所以切点坐标为(1,3).题型三求曲线过某点的切线方程[例3]求曲线y=x3-2x过点(1,-1)的切线方程.方法技巧(1)求经过点A(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程时,A(x0,y0)不一定是切点,所以不能直接利用A(x0,y0)是切点求曲线f(x)的切线方程.(2)设出切点,利用导数的几何意义写出切线方程,再利用切线过切点,这样会构成一个简单高次方程,解方程时一定要注意解的方法和准确性.注意:(1)当已知的点在曲线上且切于该点时,直接利用导数求切线的斜率,写出直线方程.(2)当已知点不在曲线上时,设出切点,利用导数表示出切线斜率,写出切线方程,代入点的坐标,求出切点坐标,写出直线方程.即时训练3-1:已知函数f(x)=x3+1.(1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程;(2)求过点(1,1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.[备用例4]已知曲线y=2x2-7,求曲线过点P(3,9)的切线方程.课堂达标1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x-y+1=0,则(

)(A)f′(x0)>0 (B)f′(x0)<0(C)f′(x0)=0 (D)f′(x0)不存在A解析:由切线方程可以看出其斜率是2,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数.故选A.2.下列说法正确的是(

)(A)若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线(B)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在(C)若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在(D)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在C解析:根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误.故选C.C4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x