双曲线的简单几何性质 市赛获奖

2.3.2双曲线的简单几何性质[目标导航]课标要求1.掌握双曲线的简单几何性质.2.能够利用双曲线的简单几何性质解题.3.能区分椭圆与双曲线的性质.素养达成通过双曲线的简单几何性质的学习和应用,逐步提升学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养.新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.双曲线的几何性质性质焦点

.

.焦距

.范围|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点

.

.轴长实轴长=

,虚轴长=

.离心率e=

(e>1)

渐近线

.

.F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)2cA1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)2a2b思考1:试用a,b表示双曲线的离心率,离心率的大小与双曲线的开口程度有关系吗?思考2:不同的双曲线,渐近线会相同吗?具有相同渐近线的双曲线的方程有什么特点?思考3:焦点在y轴上的等轴双曲线方程是什么?答案:焦点在y轴上的等轴双曲线方程为y2-x2=a2(a≠0).实轴虚轴名师点津已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.题型一课堂探究·素养提升双曲线的简单几何性质[例1](10分)求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.一题多变:将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解.方法技巧由双曲线的方程求几何性质的四个步骤(A)实半轴长相等 (B)虚半轴长相等(C)离心率相等 (D)焦距相等[备用例1]求双曲线4y2-9x2=-4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.题型二由几何性质求双曲线的方程(2)焦距为10,实轴长是虚轴长的2倍;方法技巧⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).(2)再利用已知构造关于参数的方程(组)求得.即时训练2-1:求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2);题型三求双曲线的离心率(范围)答案:(1)D答案:(2)(1,3]方法技巧②方程或不等式法:题型四直线与双曲线的位置关系[例4]

已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.方法技巧直线与双曲线位置关系的处理方法把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元化为一元二次方程形式,在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式:(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个公共点.(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点.即时训练4-1:已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为(

)[备用例3]已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1,(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;经验分享区课堂达标B(A)两个双曲线有