《概率论与数理统计》习题二

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概率论与数理统计》习题二第三章多维随机变量及其分布1、选择题设二维随机变量X，1、选择题设二维随机变量X，Y)的分布律为则P{XY=2}=则P{XY=2}=(3B.-103D.52、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为F©)=*f^xy,0<x<10其他，则当0生號兰1时，(X,Y)关于X2、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为F©)=*f^xy,0<x<10其他，则当0生號兰1时，(X,Y)关于X3、4、的边缘概率密度为fx(x)=()1

A.2%1B.2xC.-2yD.2y二维随机变量(X,Y)的联合密度函数是f(x,y)，分布函数为F(x,y),关于X,Y的边缘分布函数分别是FX(x),FY(y),则A．0,FX(x),F(x,y)C.f(x,y),F(x,y),FY(y)设随机变量X，Y，A．F2(z)B.C.1-[1-F(z)]2D.I.-，B.1，FY(y)，D.1,FX(x)，..u®.：川"小..，［：」；.门““川分别为()F(x,y)F(x,y)独立同分布且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X,Y}的分布函数为()1，F(x)F(y)[1-F(x)][1-F(y)]5、二、A．N(1，8)填空题5、二、A．N(1，8)填空题B.N(1，14)C.N(1，22)D.N(1，40)设X〜N(-1,2)，Y〜N(1.3),且X与Y相互独立，则X+2Y1、设X和Y为两个随机变量，且P{X：；t〕,YA；)}=#，P{X：“0}=P{Y：；t〕}=£，则P{max{X,Yp0}=1、2、3、(2、3、(-1011££设平面区域D由曲线y』及直线y=0,x=1,x=e2,所围成，二维随机变量X,Y)在区域D上服从均匀分i=1，2)，且满足P{X]X2=O}=1,则P{X]=X2}等于布，贝XX,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为.4、设随机变量X与Y相互独立，且服从区间［0,3］上的均匀分布，则P{max{X,YE1}}=5、设随机变量(X,Y)〜N(0,22；1,32；0),则P{|2K-Y|31}=三、解答题在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：(1)放回抽样，(2)不放回抽样。我们定义随机变量X,Y如下：0,若第一次取出的是正品，X=V、1,若第一次取出的是次品。‘0,若第二次取出的是正品，Y=V、1,若第二次取出的是次品。试分别就(1)(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：(1)放回抽样情况盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。k(6一x一y),0<x<2,2<y<4设随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)=<0,其它(1)确定常数k(2)求P{Xvl,Y<3}(3)求P(X<1.5)(4)求P(X+YW4)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为e-y,0<x<yf(x,y)=V求边缘概率密度。0,其它.V,厂cx2y,x2<y<1设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=<0,其它(1)试确定常数Co(2)求边缘概率密度。第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。设X,Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布。Y的概率密度为1ye2,y>00,y<0.(1)求X和Y的联合密度。(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。8．设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为te-t,t>0f(t)=V0t<0

并设各周的需要量是相互独立的，试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度。设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。设随机变量(X,Y)的分布律为012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05求P{X=2IY=2},P{Y=3IX=0}求V=max(X,Y)的分布律求U=min(X,Y)的分布律11.设随机变量(X,Y)的概率密度为be-(x+y),0<x<1,0<y<+8f(x,y)=<0,其它V,(1)试确定常数b；(2)求边缘概率密度fx(x)，fY(y)(3)求函数U=max(X,Y)的分布函数。0<u<1,F(u)=\u\ube-(x+y)dxdy=-^―e_―U001-e-1u>1,F(u)=fuf1be-(x+y)dxdy=1-e-uU00第四章随机变量的数字特征一、选择题1.设随机变量X,Y互相独立，且X〜B(16,0.5),Y〜P(9),则D(X-2Y+1)=(A.-14B.13C.40A.-14B.13C.402.已知随机变量X的分布律为D.41X—21xP1P2且EX=1且EX=1，则常数x=()A.2B.4C.6D.8设二维随机变量(X,Y)的分布律为00351103则(X,Y)的协方差Cov(X,Y)=A.A.TOC\o"1-5"\h\z设X是一随机变量,EX=|J,DX=O2(p,>0常数)，则对任意常数c必有()A.E(X-c)2=EX2-c2B.E(X-c)2=E(X-p)2C.E(X-c)2<E(X-p)2D.E(X-c)2±E(X-p)2设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们都不相关，则()A.X与丫一定独立B.(X，丫)服从二维正态分布C.X与丫未必独立D.X+Y服从一维正态分布二、填空题已知EX=-1,DX=3，贝9E(3X2-2)=:设X1,X2,丫均为随机变量，已知Cov(X〔，Y)=-1,Cov(X2,Y)=3,则Cov(X1+2X2,Y)=:设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望EX24.设随机变量X的分布函数为4.设随机变量X的分布函数为F(x)=”"x<2,则X的数学期望EX=5.设随机变量X1,X2，X3相互独立，且都服从参数为入的泊松分布，令(X1+X2+X3),则丫2的数三、解答题某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1,就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。(设诸产品是否是次品是相互独立的。)有3只球,4只盒子,盒子的编号为1,2,3,4,将球逐个独立地,随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E（X）设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E（X）。3.设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为1

X,(1500)2-1-(X—3000),1500<X<1500(1500)200<x<1500其他求E(X)4.设随机变量X的分布为Pk0.40.30.3E(X)，E(3X求E(X)，E(Y)。设Z=YX求E(X)，E(Y)。设Z=YX,求E(Z)。设Z=(X－Y)2，求E(Z)。5.设随机变量X的概率密度为(1)(2)(1)(2)(3)求（1）Y=2X（2）Y=e^的数学期望。7.一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布,f（X）概率密度为1丄—e4*,x〉0140,x<0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。某车间生产的圆盘直径在区间（a,b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。设随机变量X1，X2的概率密度分别为2e—2X2e—2X,0X〉0X<04e—4X,X〉00,X<0求(1)E(X1+X2),E(2X1-3X|)；(2)又设X1，X2相互独立，求E(X/)将n只球(1〜n号)随机地放进n只盒子(1〜n号)中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X)共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。(1)写出X的分布律，(2)不写出X的分布律。(1)设随机变量X的数学期望为E(X),方差为D(X)>0，引入新的随机变量(X*称为标准化的随机变量)：X*=X—E(X)2(X)验证E(X*)=0，D(X*)=1(2)已知随机变量X的概率密度。「1一丨1一xI,0<x<2f(x)彳0，其它，求X*的概率密度。设X为随机变量，C是常数，证明D(X)<E{(X-C)2}，对于CHE(X)，(由于D(X)=E{[X—E(X)]2}，上式表明E{(X—C)2}当C=E(X)时取到最小值。)设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x)=<ee〜'x>0其中少0是常数，求E(X),D(X)。0,x<0设X1?X2，…，X是相互独立的随机变量且有E(X)=卩,D(X)=/2,i=1,2,…，n.记X=丄》X，12niinii=1YX2-nX2.(3)验i-i=1-S2=亠丫(X-X)2.(1)验证E(X)=卩,D(YX2-nX2.(3)验i-i=1-i=1证E(S2)设随机变量X和Y的联合分布为:—101Y1丄丄丄188I1010881111888验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。已知三个随机变量X，Y，Z中，E(X)=E(Y)=1,E(Z)=—1，D(X)=D(Y)=D(Z)=1,pXY=0XYPXZ=|，PYz=—1。设W=X+Y+Z求E(W)，D(W)。

设随机变量(％,X2)具有概率密度。f(x,y)=1(x+y),0WxW2,0WyW28求E(X]),E(X2),COV%,X2),PxxD(X]+X2)12设X〜N(y,o2),Y〜N(y,o2),且X,Y相互独立。试求Z=aX+^Y和Z2=aX_卩Y的相关系数(其中a,卩是不为零的常数).卡车装运水泥，设每袋水泥重量(以公斤计)服从N(50,2.52)问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.已知正常男性成人血液中每一毫升白细胞数平均是7300均方差是700利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200〜9400之间的概率p.22.对于两个随机变量V,W若E(V2)E(W2)存在，证明[E(VW)]2<E(V2)E(W2)这一不等式称为柯西施X01P1-pp(1)设随机变量％,X2,X3,X(1)设随机变量％,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(兀)=5—i,i=1,2,3,4。设Y=2暫一X2+3X323.N1X4,求E(Y),D(Y)o(2)设随机变量X,Y相互独立,且X〜N(720,302),(640,252),求Z1=2X+Y,Z2=X—Y的分布,并求P{X>Y},{X+Y>1400}24.5家商店联营,它们每周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为％,X2,X3,X4,X5,已知X1〜N(200225)X2〜N(240240)X3〜N(180225)X4〜N(260265)X5〜N(320270)x1,X2,X3,X4,X5相互独立。(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；2)商店每隔两周进货一次为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？第五章大数定理和中心极限定理一、选择题1.设X1X2…Xn…是独立同分布的随机变量序列且i=1,2…，0VpV1,令丫=H=X.,e(x)为标准正态分布函数，贝^JtnPS-FiA．b.e(1)c.1-e(1)A．b.e(1)c.1-e(1)d.12.假设随机变量x.,x.,…，X…，独立同分布且EXn=0,则川<n>n,FITSA.B.C.D.13.设随机变量xi.x2,X50相互独立，且X服从泊松分布P(0,1),i=1,2,…，50,则E帥近似服从A.N(5,5)B.；)C.NA.N(5,5)B.；)C.N(5,)D.N(OH,舟)4.设e(x)为标准正态分布函数，X=::;;爼(i=1,2,…，100),且P(A)=0.8,X1,x2，…,TOC\o"1-5"\h\zX100相互独立，令丫迈二舌，则由中心极限定理知丫的分布函数F(y)近似于()A.e(y)B.e(-^)C.e(16y+80)D.e(4y+80)二、填空题1.设X1,X2，…，Xn，…独立同分布，EX=p,DXj=o2,令ZnWH'代，则对任意正数£，有[巴珂加“兰*=.2.设随机变量X〜U[0,1],由切比雪夫不等式可得P{|X#|三三}W:设X1,X2，…，X，…独立同分布，EX刊，DXj=o2>0,则对于任意实数x,12nii=随机变量X〜B(100,0.2),应用中心极限定理可得P{X230戶(附表：e(2.5)=0.9938)三、解答题据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。计算机在进行加法时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的