【解析】2023-2024学年初中数学九年级上册 24.1 放缩与相似形 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

第第页【解析】2023-2024学年初中数学九年级上册24.1放缩与相似形同步分层训练培优卷(沪教版五四制)登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

2023-2024学年初中数学九年级上册24.1放缩与相似形同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2022九上·青岛期中）将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

【答案】C

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，

∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，

∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，

矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，

∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，

故答案为：C．

【分析】对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.

2．（2022九上·晋州期中）下列四组图形中，一定相似的是（）

A．正方形与矩形B．正方形与菱形

C．矩形与菱形D．正七边形与正七边形

【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A．正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；

B．正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合

题意；

C、矩形与菱形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故不符合题意；

D、正七边形与正七边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。

3．（2022九上·闵行期中）下列各组图形中，一定相似的是（）

A．两个正方形B．两个矩形

C．两个菱形D．两个平行四边形

【答案】A

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；

B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，

C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；

D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；

故答案为：A．

【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。

4．（2022九上·浦东期中）下列各组中两个图形不相似的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】相似图形

【解析】【解答】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似．

故答案为：B．

【分析】根据相似图形的判定方法逐项判断即可。

5．（2022九上·通州期中）下列判断正确的是（）

A．任意两个平行四边形一定相似B．任意两个矩形一定相似

C．任意两个菱形一定相似D．任意两个正方形一定相似

【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A．因为两个平行四边形的对应角及对应边均不能确定，故任意两个平行四边形不一定相似，故本选项不符合题意；

B．任意两个矩形的对应边不能确定，故任意两个矩形不一定相似，故本选项不符合题意；

C．两个菱形的对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；

D．由于正方形的四条边均相等，四个角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故本选项符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据相似图形的判定方法逐项判断即可。

6．（2022九上·黄浦期中）下列图形中，一定相似的是（）

A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形

B．有一个内角为80°的两个等腰三角形

C．两个长方形

D．有一个内角为80°的两个菱形

【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A．平行于三角形一边的一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形各边对应成比例，即相似，不符合题意；

B．有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；

C．两个长方形不一定相似，不符合题意；

D．有一个内角为80°的两个菱形一定相似，符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据相似多边形的判定方法分别判断即可.

7．（2022九上·嘉定期中）下列命题中，属于真命题的是（）

A．两个菱形一定相似

B．两个等腰直角三角形一定相似

C．两个矩形一定相似

D．两个周长相等的三角形一定相似

【答案】B

【知识点】相似图形；真命题与假命题

【解析】【解答】解：A：两个菱形不一定相似，因为不能保证对应角相等，故A不符合题意；

B：两个等腰直角三角形一定相似，因为两边成比例及其夹角相等，故B符合题意；

C：两个矩形不一定相似，因为不能保证对应边成比例，故C不符合题意；

D：两个周长相等的三角形不一定相似，因为不能保证对应边成比例、对应角相等，故D不符合题意；

故答案为：B．

【分析】根据相似图形的定义逐一判断即可.

8．下列说法不一定正确的是（）

A．所有的等边三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似

C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似

【答案】C

【知识点】相似图形

【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．

故选C．

【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．

二、填空题

9．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为cm．

【答案】13

【知识点】相似图形

【解析】【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm．

故答案为：13

【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似，依据相似形的性质即可解决。

10．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有(填序号)．

【答案】(1)(2)(5)

【知识点】相似图形

【解析】【解答】因为大小不同，形状相同的图形是相似形，所以相似的有(1)(2)(5)，

故答案为：(1)(2)(5)

【分析】利用相似图形的定义，就可得出相似图形。

11．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是．

【答案】②③

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；

②所有的正三角形都相似，正确；

③所有的正方形都相似，正确；

④所有的矩形都相似，错误．

故答案为：②③

【分析】根据相似图形的判定定理，求解。

12．在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是cm2．

【答案】18

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，

∴相似比=1：3，

∴面积比=（1：3）2=1：9，

∴这次复印出来的图案的面积=2×9=18（cm2）．

故答案为：18．

【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方，求解

三、解答题

13．图中所示为两幅形状相似的油画A和B，它们的对角线分别长42cm和48cm．问油画A的面积是油画B的百分之几？

【答案】解：∵相似矩形的对角线分别为42cm和48cm，

∴相似比为42：48=7：8，

∴面积的比为49：64≈76.6%，

∴油画A的面积是油画B的76.6%．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方求解。

14．如图所示，小芳用画正方形的办法画出下列一组图案，你能按规律继续画下去吗？想想其中有哪些相似图形？

【答案】解：这组图形的规律是：后面的图案比前面的图案多两个全等的正方形，且多出的这两个正方形的边长等于前面正方形对角线的长．按此规律可以继续画图．其中每两个全等的正方形组成的图形与后面多出的两个全等的正方形形成的图形都是相似的．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】第一个图中是两个全等的正方形，它们的对角线互相垂直．第二个图比第一个多出两个正方形，这两个正方形全等，且这两个正方形的边长等于第一个图两个正方形的对角线的长．第三个图比第二个图又多出两个正方形，这两个正方形全等，且这两个正方形的边长等于前面两个正方形的对角线的长．按此规律可以继续画图．

四、综合题

15．（2023八下·南城期中）在中，，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作，使，，连接CE．

（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若，则．

（2）设，．

①当点D在BC延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上不与B，C两点重合移动时，与之间有什么数量关系？请画出相应的图形，直接写出你的结论．

【答案】（1）25°

（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由是：

∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．

∵∠BAC=α，∠DCE=β，

∴α=β；

②解：当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β．

【知识点】全等图形；相似图形；图形的旋转；旋转的性质

【解析】【解答】（1）解：∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．

∵∠BAC=25°，∴∠DCE=25°．

故答案为25°；

【分析】（1）根据题意证明△BAD≌△CAE，即可得到∠B=∠ACE，根据三角形外角的性质求出答案即可；

（2）①根据△BAD≌△CAE，即可得到∠B=∠ACE，由三角形的外角的性质求出答案即可；

②根据三角形的外角的性质求出答案即可。

16．（2023九上·鹤城期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．

（1）求证：△DOB∽△ACB；

（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；

（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．

【答案】（1）证明：∵DO⊥AB，

∴∠DOB=∠DOA=90°，

∴∠DOB=∠ACB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△DOB∽△ACB；

（2）解：∵∠ACB=90°，

∴AB===10，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，

∴DC=DO，

在Rt△ACD和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），

∴AC=AO=6，

设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，

在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，

即（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，

∴BD的长为5；

（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称，

∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，

∵∠B为锐角，

∴∠OB′D也为锐角，

∴∠AB′D为钝角，

∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，

∵△DOB∽△ACB，

∴==，

设BD=5x，

则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，

∵AB′+B′O+BO=AB，

∴5x+4x+4x=10，

解得：x=，

∴BD=．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】（1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易证明△DOB∽△ACB；

（2）先由勾股定理求出AB，由角平分线的性质得出DC=DO，再由HL证明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD．

二一教育在线组卷平台（）自动生成1/1登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

2023-2024学年初中数学九年级上册24.1放缩与相似形同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2022九上·青岛期中）将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

2．（2022九上·晋州期中）下列四组图形中，一定相似的是（）

A．正方形与矩形B．正方形与菱形

C．矩形与菱形D．正七边形与正七边形

3．（2022九上·闵行期中）下列各组图形中，一定相似的是（）

A．两个正方形B．两个矩形

C．两个菱形D．两个平行四边形

4．（2022九上·浦东期中）下列各组中两个图形不相似的是（）

A．B．

C．D．

5．（2022九上·通州期中）下列判断正确的是（）

A．任意两个平行四边形一定相似B．任意两个矩形一定相似

C．任意两个菱形一定相似D．任意两个正方形一定相似

6．（2022九上·黄浦期中）下列图形中，一定相似的是（）

A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形

B．有一个内角为80°的两个等腰三角形

C．两个长方形

D．有一个内角为80°的两个菱形

7．（2022九上·嘉定期中）下列命题中，属于真命题的是（）

A．两个菱形一定相似

B．两个等腰直角三角形一定相似

C．两个矩形一定相似

D．两个周长相等的三角形一定相似

8．下列说法不一定正确的是（）

A．所有的等边三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似

C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似

二、填空题

9．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为cm．

10．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有(填序号)．

11．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是．

12．在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是cm2．

三、解答题

13．图中所示为两幅形状相似的油画A和B，它们的对角线分别长42cm和48cm．问油画A的面积是油画B的百分之几？

14．如图所示，小芳用画正方形的办法画出下列一组图案，你能按规律继续画下去吗？想想其中有哪些相似图形？

四、综合题

15．（2023八下·南城期中）在中，，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作，使，，连接CE．

（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若，则．

（2）设，．

①当点D在BC延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上不与B，C两点重合移动时，与之间有什么数量关系？请画出相应的图形，直接写出你的结论．

16．（2023九上·鹤城期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．

（1）求证：△DOB∽△ACB；

（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；

（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，

∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，

∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，

矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，

∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，

故答案为：C．

【分析】对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.

2．【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A．正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；

B．正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合

题意；

C、矩形与菱形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故不符合题意；

D、正七边形与正七边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。

3．【答案】A

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；

B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，

C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；

D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；

故答案为：A．

【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。

4．【答案】B

【知识点】相似图形

【解析】【解答】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似．

故答案为：B．

【分析】根据相似图形的判定方法逐项判断即可。

5．【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A．因为两个平行四边形的对应角及对应边均不能确定，故任意两个平行四边形不一定相似，故本选项不符合题意；

B．任意两个矩形的对应边不能确定，故任意两个矩形不一定相似，故本选项不符合题意；

C．两个菱形的对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；

D．由于正方形的四条边均相等，四个角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故本选项符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据相似图形的判定方法逐项判断即可。

6．【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A．平行于三角形一边的一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形各边对应成比例，即相似，不符合题意；

B．有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；

C．两个长方形不一定相似，不符合题意；

D．有一个内角为80°的两个菱形一定相似，符合题意．

故答案为：D．

【分析】根据相似多边形的判定方法分别判断即可.

7．【答案】B

【知识点】相似图形；真命题与假命题

【解析】【解答】解：A：两个菱形不一定相似，因为不能保证对应角相等，故A不符合题意；

B：两个等腰直角三角形一定相似，因为两边成比例及其夹角相等，故B符合题意；

C：两个矩形不一定相似，因为不能保证对应边成比例，故C不符合题意；

D：两个周长相等的三角形不一定相似，因为不能保证对应边成比例、对应角相等，故D不符合题意；

故答案为：B．

【分析】根据相似图形的定义逐一判断即可.

8．【答案】C

【知识点】相似图形

【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．

故选C．

【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．

9．【答案】13

【知识点】相似图形

【解析】【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm．

故答案为：13

【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似，依据相似形的性质即可解决。

10．【答案】(1)(2)(5)

【知识点】相似图形

【解析】【解答】因为大小不同，形状相同的图形是相似形，所以相似的有(1)(2)(5)，

故答案为：(1)(2)(5)

【分析】利用相似图形的定义，就可得出相似图形。

11．【答案】②③

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；

②所有的正三角形都相似，正确；

③所有的正方形都相似，正确；

④所有的矩形都相似，错误．

故答案为：②③

【分析】根据相似图形的判定定理，求解。

12．【答案】18

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，

∴相似比=1：3，

∴面积比=（1：3）2=1：9，

∴这次复印出来的图案的面积=2×9=18（cm2）．

故答案为：18．

【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方，求解

13．【答案】解：∵相似矩形的对角线分别为42cm和48cm，

∴相似比为42：48=7：8，

∴面积的比为49：64≈76.6%，

∴油画A的面积是油画B的76.6%．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方求解。

14．【答案】解：这组图形的规律是：后面的图案比前面的图案多两个全等的正方形，且多出的这两个正方形的边长等于前面正方形对角线的长．按此规律可以继续画图．其中每两个全等的正方形组成的图形与后面多出的两个全等的正方形形成的图形都是相似的．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】第一个图中是两个全等的正方形，它们的对角线互相垂直．第二个图比第一个多出两个正方形，这两个正方形全等，且这两个正方形的边长等于第一个图两个正方形的对角线的长．第三个图比第二个图又多出两个正方形，这两个正方形全等，且这两个正方形的边长等于前面两个正方形的对角线的长．按此规律可以继续画图．

15．【答案】（1）25°

（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由是：

∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．

∵∠BAC=α，∠DCE=β，

∴α=β；

②解：当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=