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第八节闭区间上连续函数的性质第八节闭区间上连续函数的性质1闭区间上的连续函数有很多重要性质.这些性质在以后各章的学习中经常用到.这些性质,从几何上是容易理解的,但要给出完整而严格的证明,有时却是比较困难的.本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质,并从几何上对这些性质予以解释.闭区间上的连续函数有很多重要性质.这些性质在以后2一、最大值最小值定理定义设定义在区间上，则称为函数在区间上的最大值；为最大值点，若存在点使得对每一个都有则称为函数在区间上的最小值；为最小值点，若存在点使得对每一个都有并记并记一、最大值最小值定理定义设定义在区3例函数在整个区间上的最小值为,但无最大值.例函数4闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值定理1（最大值最小值定理）.和最小值.从右边的图中可以看出,若函数在闭区间上连续,则在点和处分别取到最大值和最小值.证明从略.闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值定理15用简单的数学符号，定理1可表述为：值得注意的是，定理1中的条件在闭区间上连续，不能改为开区间.用简单的数学符号，定理1可表述为：值得注意的6证因存在，由局部有界性定理，存在例设函数在内连续，且存在，由于区间可以表示为由于函数连续，故函数在闭区间有界.证明在内有界.使得在内有界；由此得函数在内有界.证因存在，由局部有7二、零点定理与介值定理在初等代数中,我们熟知这一个事实:从几何上我们可以很清楚地看到则一定存在对多项式函数，若存在使得该问题的实际意义.二、零点定理与介值定理在初等代数中,我们熟知这一8但该问题对于一般函数而言，结论不成立.注意到：例如，但不存在关键原因在于函数不连续.但该问题对于一般函数而言，结论不成立.注意到：例如，9定理2(零点定理)定理2可用符号表述为：若函数在闭区间上连续，且异号，则函数在开区间内至少存在一个零点.定理2(零点定理)定理2可用符号表述为：若函数10从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧的两个端点分别位于轴的两侧，则曲线弧与

轴至少有一个交点.从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧11例证明方程在区间内有唯一的根.证令由零点定理，必存在，使得又函数是单调增加函数，故零点是唯一的.例证明方程在区12例任何实系数奇次多项式方程必有实根。证设实系数奇次多项式方程为因不妨设.记例任何实系数奇次多项式方程必有实根。证设实13可见：故，存在使得使得同理存在使得因由零点定理，知存在可见：故，存在使得使得同理存在14证作函数则且且,则对于介于与之间的任何实定理3(介值定理)若函数在闭区间上连续,数在区间内至少存在一点使得即由零点定理,存在使得证作函数15注零点定理是介值定理的特殊情况.注零点定理是介值定理的特殊情况.16之间的任何值.即推论1闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值为闭区间.推论2闭区间上的不

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