高等代数-第4章多项式-46-重因式与重根课件

2023/8/6高等代数定义1：不可约多项式称为的k重因式如果而。当k=1时，就称的单因式，当k>1时，称为的重因式。如果的标准分解式为：则分别是的因式，且分别为重。2023/7/31高等代数定义1：不可约多项式称为的k重因式12023/8/6高等代数要求的重因式，只要把式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项的标准分解式分解为不可约因式的乘积。

因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。定义2：的一阶导数指的是多项式：（形式定义）多项式一阶导数的导数称为的二阶导数，记为2023/7/31高等代数要求的重因式，只要把式写出即可。但22023/8/6高等代数的导数称为的三阶导数，记为…………的k阶导数记为多项式的求导法则：1、2、3、4、2023/7/31高等代数的导数称为的三阶导数，记为……32023/8/6高等代数定理1.6.1：若不可约多项式是的k重因式（k>1），则是式，特别多项式的单因式不是式。证：的k-1重因的因2023/7/31高等代数定理1.6.1：若不可约多项式是42023/8/6高等代数从而于是是的k-1重因式。推论1：若不可约多项式是的k重因式不是的因式。证：是的k-1重因式，是的k-2重因式，……………（k>1），则是的因式，但2023/7/31高等代数从而于是是的k-1重因式。推论152023/8/6高等代数是的（k-(k-1)=1）单因式，因而不是的因式。推论2：不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式。证：必要性由推论1立得。充分性，若是与的公因式，则不是的单因式（否则，由推论1知的因式），故不是是的重因式。推论3：无重因式的充要条件是多项式与互素。2023/7/31高等代数是的（k-(k-1)=1）单因式62023/8/6高等代数

推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以利用辗转相除法得到。

在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多项式有没有重因式。设多项式的标准分解式为：由定理1得：故2023/7/31高等代数推论3表明，判别一个72023/8/6高等代数于是：有没有重因式，只要求1、判别的最大公因式的重因式的重数恰好是中重因式的重数加1。此法不能求的单因式。例1.6.1在中分解多项式2、分离重因式，即求的所有不可约的单因式：2023/7/31高等代数于是：有没有重因式，只要求1、判别82023/8/6高等代数例1.6.2：求多项式有重因式的条件。2023/7/31高等代数例1.6.2：求多项式有重因式的条92023/8/6高等代数

当时，即这时f有重因式

当时，即时，欲有重因式，只需即重因式是例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式在Q上的标准分解式。2023/7/31高等代数当时，即这时f有重因式当102023/8/6高等代数解：利用辗转相除法求得：把单因式化，得由于故是的3重因式，是的单因式，故在Q上的标准分解式为2023/7/31高等代数解：利用辗转相除法求得：把单因式112023/8/6高等代数多项式在中没有重因式，问题：在中是否也没有重因式？由于多项式的导数以及两个多项式互素与否在由数域F过渡到含F的数域时并无改变，故有没有重因式不因数域的扩大而改变。2023/7/31高等代数多项式在中没有重因式，问题：在122023/8/6高等代数一、多项式函数

定义：设对数称为当F中的根或零点。

定义（多项式函数）：设对作映射f：为F上的多项式函数。时的值，若则称c为在映射f确定了数域F上的一个函数被称2023/7/31高等代数一、多项式函数定义：设对数132023/8/6高等代数当F=R时，就是数学分析中所讨论的多项式函数。若则二、余式定理和综合除法所得的余式是。用一次多项式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多项式证：由带余除法：设则。2023/7/31高等代数当F=R时，就是数学分析中所讨论的142023/8/6高等代数问题1、有没有确定带余除法：的简单方法？中和设把代入中展开后比较方程两边的系数得：2023/7/31高等代数问题1、有没有确定带余除法：的简单152023/8/6高等代数因此，利用与之间的系数关系可以方便和r，这就是下面的综合除法：2023/7/31高等代数因此，利用与之间的系数关系可以方162023/8/6高等代数于是得去除例1.7.1：求用的商式和余式。解：由综合除法因此2023/7/31高等代数于是得去除例1.7.1：求用的商式172023/8/6高等代数利用综合除法求与r时应注意：1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；2、除式要变为例1.7.2：把表成的方幂和。2023/7/31高等代数利用综合除法求与r时应注意：1、多182023/8/6高等代数定理1.7.2（因式定理）：因式的充要条件是。证明：设若即故是的一个因式。若有一个因式即故此即。由此定理可知，要判断一个数c是不是的根，可以直接代入多项式函数，看是否等于零；也可以利用综合除法来判断其余数是否为零。多项式有一个2023/7/31高等代数定理1.7.2（因式定理）：因式的192023/8/6高等代数三、多项式的根定义3：若是的一个k重因式，即有但则是的一个k重根。问题2、若多项式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否说有重根？由于多项式有无重因式与系数域无关，而有无重根与系数域有关，故有重根有重因式，但反之不对。2023/7/31高等代数三、多项式的根定义3：若是的一个202023/8/6高等代数定理1.7.3（根的个数定理）：数域F上次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。证明（用归纳法）：当时结论显然成立，假设当是次多项式时结论成立，则当是n次多项式时，设是的一个根，则有是n-1次多项式，由归纳知至多只有个根，故至多只有n个根。2023/7/31高等代数定理1.7.3（根的个数定理）：数212023/8/6高等代数证二：对零次多项式结论显然成立，数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不定理1.7.4：超过n，若在F中有n+1个不同的数使与的值相等，则。证明：令设它们的次数都不若又把若是一次数>0的多项式，分解成不可约多项式的乘积，这时在数域F中根的个超过n。2023/7/31高等代数证二：对零次多项式结论显然成立，数222023/8/6高等代数由于F中有n+1个不同的数，使与的值相等，故有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾，故即问题3、设是F中n个不同的数，是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项式，使利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式使2023/7/31高等代数由于F中有n+1个不同的数，使与232023/8/6高等代数作函数则这个公式也称为Lagrange插值公式。例1.7.3：求一个次数小于3的多项式使。解一（待定系数法）：设所求的多项式2023/7/31高等代数作函数则这个公式也称为Lagr242023/8/6高等代数由已知条件得线性方程组：解之得解二（利用Lagrange公式）：2023/7/31高等代数由已知条件得线性方程组：解之得解二252023/8/6高等代数利用Lagrange插值公式可得：

问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？2023/7/31高等代数利用Lagrange插值公式可得：262023/8/6高等代数四、多项式相等与多项式函数相等的关系

多项式相等：即对应项的系数相同；

多项式函数相等：即对有定理1