第1课时　极坐标方程与参数方程

第1课时极坐标方程与参数方程选修4—4内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能用极坐标表示点的位置,理解在两个坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在两个坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.4.了解参数方程及参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.1.曲线方程的三种形式间的转化2.求曲线或轨迹的极坐标方程3.求曲线或轨迹的参数方程4.直线的参数方程的应用5.曲线的参数方程的应用6.极坐标方程的应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强基础增分策略1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个

O,叫作极点;从O点引一条

Ox,叫作极轴;选定一个单位长度和角的正方向(通常取

方向),这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的

,θ叫作点M的

,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的

,记作M(ρ,θ).

当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值.定点

射线

逆时针

极径

极角

极坐标

3.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).4.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=

.

(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:①直线过极点:θ=θ0(ρ∈R)或

(ρ∈R);

②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:

;

ρ0sin(θ0-α)θ=π+θ0ρcosθ=aρsinθ=b5.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为

.

(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程:①圆心位于极点,半径为r:ρ=

;

②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=

;

r2acosθ2asinθ微点拨1.由极坐标的定义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果规定ρ>0,θ∈[0,2π),那么平面内的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)是一一对应的.2.由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ=所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.6.曲线的参数方程定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

并且对于t的每一个允许值,由上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的

,其中变数t称为

.参数方程

参数

微点拨1.参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程,要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致.2.普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样.一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标).增素能精准突破考点一曲线方程的三种形式间的转化(多考向探究)考向1.直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程典例突破例1.(2021全国乙,理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出☉C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.(2)☉C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=1.①当直线斜率不存在时,直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离d=2,有d>r(r为圆C的半径),不合题意,舍去;②当直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-4),化简得kx-y-4k+1=0,反思感悟直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程的方法(1)将直角坐标方程化为参数方程时,首先确定一个适当的参数,然后用该参数表示出直角坐标方程中的x,y;(2)直角坐标方程化为极坐标方程的方法是直接将互化公式

代入直角坐标方程化简整理.对点训练1在直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)若以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,写出C的极坐标方程和直线l的参数方程;考向2.参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程典例突破例2.(2021山西太原二模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程反思感悟参数方程或极坐标方程化为直角坐标方程的方法(1)极坐标方程化为直角坐标方程一般是互化公式

的逆用,有时需要构造形如ρcos

θ,ρsin

θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.(2)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.考向3.参数方程与极坐标方程间的互化典例突破例3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin

θ+1-a2=0.若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin

θcos

θ+1-a2=0,由已知tan

θ=2,可得16cos2θ-8sin

θcos

θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.突破方法参数方程与极坐标方程间的互化方法

对点训练3(2021四川高考诊断)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(α为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系的单位长度相同).(1)求曲线C的极坐标方程;考点二求曲线或轨迹的极坐标方程典例突破例4.(2020全国Ⅱ,理22)已知曲线C1,C2的参数方程分别为(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.反思感悟求曲线或轨迹的极坐标方程的方法由于点的极坐标是用长度与角度表示的,所以建立极坐标方程常常可以通过寻找一个三角形的边角关系来进行.因此寻找这样的三角形就成了解题的关键.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.考点三求曲线或轨迹的参数方程典例突破例5.(2021全国甲,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2

cosθ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足

,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.反思感悟当动点坐标x,y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x,y与某一变数t