北京大学量子力学课件-第10讲

第十讲

Ⅰ.束缚能级与反射振幅极点的关系束缚态S矩阵的极点

在一维情况下，对应的极点应是反射振幅。(1)半壁δ位阱的散射

1

由波函数连续，及其导数的关系（在处）

2

代入R分母得

其中

3

这与直接求解双对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全一致。

(2)有限深方位阱：（）

其中,

这与直接求解双对称势的奇宇称所得4

若位势有束缚态，则，而为R或S的极点。令，

若位势有束缚态，则，而5Ⅱ.一维谐振子的代数解法：若粒子在中运动。令

，则

北京大学量子力学ppt课件-第10讲6

（1）能量本征值

定义二个无量纲的算符则有

（1）能量本征值7于是，有二个重要结论：

A.B.可得若是的本征态，相应本征值为，即则

于是，有二个重要结论：8

也是

的本征态，本征值为同样有也是的本征函数，相应本征值为，

即增加能量。

也是 的本征态，本征值为9本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态

这与为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，因此由

本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态10

。所以，最低能量为任一激发态，在算符的连续作用下，最终必须到态。若经，则的本征值应为

11

，也即。所以，称为声子数算符。谐振子的能量本征值取它的能级是等间距的。北京大学量子力学ppt课件-第10讲12(2)能量本征函数

谐振子的能量本征态，可由作用而获得现求归一化系数假设：是归一化的，相应本征值那

(2)能量本征函数13所以，至此，对谐振子势下的本征值，本征态都已求出，问题已完全解决。由本征态可求出的任何信息都可由此得到。

14

为要得到在坐标空间中的解析表达式，由其中，是无量纲量，。所以

为要得到在坐标空间中的解析表达式，由15于是有由归一化

16

17而算符

而算符 18所以，

其中

它是一多项式，最高幂次为n，系数为；宇称为，被称为厄密多项式（HermitPolynomials）。

所以，19（3）讨论和结论

A.当粒子运动于谐振子势中，其能量取分立值

为一个声子所带的能量。相应的归一化波函数

（

而

）。

（3）讨论和结论20

在坐标空间中

具体而言

在坐标空间中21北京大学量子力学ppt课件-第10讲22

B.显然是偶函数，而

是改变奇偶性的算符，所以的宇称为，即每条能级的宇称是确定的。

C.零点能与测不准关系：当体系处于最低态，则对于任何实数A＋B＝C，则有

B.显然是偶函数，而 23于是有

而所以

但由测不准关系要求

于是有24因而，只有才不违背测不准关系。这表明，处于谐振子势中的粒子，最低能量不能小于。这与经典不同，经典粒子可停在原点，能量为0。

D．可以证明：un有n个节点（它是第n+1条解级）

25

这表明，在和能级之间不可能有另外能级，所以解是完全的。

E.递推关系：我们将导出基本的递推关系1.

2.

26

3.

4.

27北京大学量子力学ppt课件-第10讲28§3.9相干态（1）湮灭算符的本征态令于是有§3.9相干态29可得

由

归一化得

可得30所以

相应于本征值为

的归一化本征态我们看到，，没有共同的本征态，但其线性组合

所以相应于本征值为的归一化本征态31有本征态。这类态称为相干态。它有性质：

A.

在该态中位置和动量满足最小测不准关系有本征态。这类态称为相干态。它有性质：32同理有

北京大学量子力学ppt课件-第10讲33于是有

∴

34

B.相干态随时间的演化

若处于谐振子势的粒子，在

时，处于相干态，则

时，体系的波函数为B.相干态随时间的演化35

于是

这表明

的本征值在

时为，而在时刻为

我们有平均值

于是36

我们也有平均值

37

所以，

38其中

39

它随的演化很接近经典谐振子的运动。北京大学量子力学ppt课件-第10讲40

C.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态

这时，体系的哈密顿量为于是，我们有其中

C.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态41

如令

则

令

如令42北京大学量子力学ppt课件-第10讲43它的基态满足而北京大学量子力学ppt课件-第10讲44

所以即

这表明

这时

45

所以，

是哈密顿量

的相干态。

北京大学量子力学ppt课件-第10讲46第四章

量子力学中的力学量§4.1表示力学量算符的性质

（1）一般运算规则：一个力学量如以算符表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从

北京大学量子力学ppt课件-第10讲47

例：，于是

48即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a.

A.力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即

即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a.49

例如1.

50

例如2.对不显含时间的薛定谔方程若

，，则

51

量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，

52

方程就不行。因

B.算符之和：

表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即

方程就不行。因53

C.算符之积:表示，对任意波函数，有

，则

D.逆算符：算符

将任一波函数若有另一算符使则称为的逆算符，并表为

，

C.算符之积:表示54显然，

E.