华南理工大学大学物理第6章简谐振动教程课件

第二编机械振动机械波第六章机械振动前言：振动和波是物理中的重要领域：1）大量存在。（一般讲，小物体作急速振动；大物体振动较慢。）2）是宇宙两大运动之一无“序”运动；分子热运动、银河星系的运动；有序运动；有规序的运动。其中一类就是周期运动，振动就是一种周期运动。第二编机械振动机械波第六章机械振动前言：振动和++--tuiqtP周期运动特点有周期和平衡位置：运动系统经过一周期时间以后又回到原来的状态；物体运动总是在一个特定位置附近往复进行。弹簧振子振荡电路心房室压强振动--描写某一系统状态的物理量在一定范围内作周期性变化，则这系统的运动称为振动。X++--tuiqtP周期运动特点有周期和平衡位置：运动系统经§6--1简谐振动简谐振动：我们所要研究的x-t曲线，即位移－时间曲线是纯余弦曲线的振动，即余弦式振动。6－1－1、弹簧振子的振动：t振子在弹性力和惯性两因素相互作用下在平衡位置附近往复运动。§6--1简谐振动简谐振动：我们所要研究的x-t曲线，即位移设振子m在某一位置x,由胡克定律和牛顿第二定律有：解此微分方程：A：振幅；：初相位。（由初始条件决定的待定常数。）解此微分方程：A：振幅；：初相位。（由初始条件决定6-1-2单摆小球受的切向分力：小球受的切向加速度：根据牛顿第二定律单摆的小角摆动是简谐振动6-1-2单摆小球受的切向分力：小球受的切向加速度：根据牛3、简谐振动的特点：（1）运动学特征：a与x恒成正比且反相x是t的余弦函数（2）动力学特征：

要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。3、简谐振动的特点：a与x恒成正比且反相x是t的余弦函数（2二、简谐振动中的位移、速度和加速度：1、A振幅速度振幅加速度振幅二、简谐振动中的位移、速度和加速度：1、A振幅速度振幅加速度t2、x-t曲线、v-t曲线和a-t曲线：tttt2、x-t曲线、v-t曲线和a-t曲线：ttt§6-2描述谐振动的三个物理量——周期、振幅、初相作简谐振动的物体，其运动状态每经过一个相同的时间T就重复一次，时间T就称为振动的周期。振动学中把1秒内物体完成振动的次数称为频率。把秒内物体完成振动的次数称为角频率。6.2.2周期频率和角频率§6-2描述谐振动的三个物理量——周期、振幅、初相振动一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？弹簧振子：k为弹簧的倔强系数m为质点质量一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？弹簧振子：k6.2.3相位：1、定义：相位（用角度表示）周期(用时间表示）T6.2.3相位：1、定义：相位（用角度表示）2、特点：（1）一定的周相对应一个确定的运动状态。（2）一定的运动状态对应一定的周相。（3）周相差表示了两作同周期振动物体在同一时刻运动状态的差异。同相：两振动完全同步反相：两振动步调完全相反超前：落后：2、特点：同相：两振动完全同步反相：两振动步调完全相反超前：AXoXotXo-AXottttAXoAXoXotXo-AXottttAXo例（补）：判断以下说法是否正确？并说明理由。（1）质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期。（2）如下图所示，看来x(t)曲线似乎在v(t)曲线的前方，即x(t)的极大值处于邻近v(t)极大值的右侧，故说位移x比速度v领先（3）位移两次对t求导可得加速度二者括号中是一样的，故说x与a同相。例（补）：判断以下说法是否正确？并说明理由。（3）位移两次对解（1）不对。因为简谐振动的速度不是常数，故经过相等距离所需时间不同。（2）不对。由x-t、v-t图比较x、v的位移时，应从t=0看起，如图所示，v的第一极大值在x的第一极大值左方，故，v比x领先（3）不对。比较两个量的位相时，应都写成余弦（或正弦）函数，并使前面的系数同号。与比较位相时，应写成：可看出a与x反相。若比较v与x的位相，v应写成：则v比x领先解（1）不对。因为简谐振动的速度不是常数，故经过相等距离所需6.2.4振幅A、初位相的确定：振幅和初相的值是由初始条件决定的；初始条件：t=0时的初位移X0、初速度由：{解之：{以t=0代入：由振动的周期性，可知，只要研究一个周期内不同时刻的函数，即可知整个周期性运动，比用时间t描述方便、直接。6.2.4振幅A、初位相的确定：振幅和初相的6.3简谐振动的旋转矢量表示法：A确定振动方程的三个量：质点P任意时刻位置由质点P在x轴上的投影作简谐振动：旋转矢量法优点：形象化，尤其是使相位和圆频率具体化用一匀速转动的矢量来研究简谐振动的方法称旋转矢量法。其中轨迹圆称为参考圆。6.3简谐振动的旋转矢量表示法：A确定振动方程的三个量：质用旋转矢量法确定初位相：t用旋转矢量法确定初位相：t求振动方程步骤：1、首先确定系统是作简谐振动。2、据简谐振动方程确定即可。求振动方程步骤：确定即可。例补：一定滑轮的半径为R，质量为M，其上挂一轻绳绳的一端系一质量为m的物体，另一端与固定的轻弹簧相连，如图，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，并忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体从平衡位置拉下一微小距离，然后放手，从放手瞬间开始计时，并以平衡位置为坐标原点，OX向下为正向，求：（1）证明物体作简谐振动（2）写出振动方程例补：一定滑轮的半径为R，质量为M，其上挂一轻绳解：选物体、定滑轮、弹簧组成振动系统，受力分析如图系统平衡时对物体：对定滑轮：对弹簧：（为系统平衡时弹簧伸长量）当物体拉一微小距离，作振动，取任一时刻，有：（为弹簧总伸长量）解：选物体、定滑轮、弹簧组成振动系统，受力分析如图对定滑轮：联立方程求得：其中初始条件：振动方程：联立方程求得：其中初始条件：振动方程：例补：已知一简谐振动的位移曲线如图，写出振动方程。t0241解：由图知A=4。据时时作出旋转矢量图由图得初位相振幅在1秒内转过了得所以振动方程：例补：已知一简谐振动的位移曲线如图，写出振动方t0241解：【例6-3】一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数k=0.72N.m-1，物体的质量m=20g。把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放，求简谐运动方程；2.求物体从初位置运动到第一次经过3.如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右的初速度=0.30m.s-1

，求其运动方程。处时的速度；解(1)【例6-3】一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系3.如果代入简谐运动方程中，可得

欲求处的速度，需先求出物体从初位置运动到第一次抵达处的相位。因=0，所以则(2)作相应的矢量图如图代入简谐运动方程中，可得欲求处的速度，需先求出物体从初位置由图知物体由初位置第一次运动到时的相位代入速度公式，可得

负号表示速度的方向沿ox轴负方向

由图知物体由初位置第一次运动到时的相位代入速度公式，可得，

(3)因故振幅和初相分别为

由题意作出旋转矢量图.从图可知则简谐运动方程为，(3)因故振幅和初相分别为6.4简谐振子的能量：动能：势能：系统机械能：6.4简谐振子的能量：动能：势能：系统机械能：结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！从简谐振动的机械能守恒推导建立简谐振动的微分方程：求导小结：（1）振动动能和振动势能均随时间作周期性变化，其数值在之间重复变化。如果振动的周期为T，则和变化的周期为T/2。（2）振动动能、振动势能的变化并不同步，动能最大时势能为零，势能最大时，动能为零。（3）振动的总能量保持不变。结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！从简谐振动的机械能守恒推简谐振动的判据：简谐振动的判据：例6.4两根相同弹簧(弹性系数为k,自然长度为

)与小球m放在光滑水平面上作振幅为A的谐振动(弹簧另一端各固定在相距为连接后，的墙上)．当m运动到两墙的中点时，突然将一质量为的质点轻轻粘在m上(设粘上前的速度为零)．求粘上后振动系统的周期和振幅解：两个弹簧的等效弹簧的弹性系数为2k粘上前系统的圆频率粘上后系统的圆频率振动系统的周期例6.4两根相同弹簧(弹性系数为k,自然长度为)与小球m设粘上后，振动系统的振幅为A；取粘上时的瞬间为t=0则系统的初始位移对系统来说，其水平方向上动量守恒，有V是粘上前物体的速度是粘上后的速度设粘上后，振动系统的振幅为A；取粘上时的瞬间为t=0则系通过谐振动的能量来求振幅粘上前，振动系统的能量粘上后，新振动系统的能量通过谐振动的能量来求振幅粘上前，振动系统的能量粘上后华南理工大学大学物理第6章简谐振动教程ppt课件6.5.1同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成

设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：1、三角函数法6.5简谐振动的合成6.5.1同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成设两简谐振tx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后仍为同频率的谐振动tx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后2、旋转矢量法YX与角速度相同则的量值不变。所以由几何关系可证，t时刻在ox轴上投影为：2、旋转矢量法YX与角速度相同则的量值不变。所以由几何关系可YX讨论：（1）：YX讨论：（1）：（2）A:两振动同相则振动加强两振动反相则振动减弱若则共同作用下静止一般情况：（2）A:两振动同相则振动加强两振动反相则振动减弱若则共同作例补：求振动和的合振动方程，并用旋转矢量表示。解：合振幅初周相：例补：求振动和的合振动方程，并用旋转矢量表示。解：合振幅初周画出矢量图：由图可见，应取，于是合振动方程：画出矢量图：由图可见，应取，于是合振动方程：6.5.2同方向、不同频率的两个谐振动的合成

设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：YX6.5.2同方向、不同频率的两个谐振动的合成设两简谐振动均沿其中，可见，位相差随时间变化，讨论（特殊情况）：即两分振动频率都较大，频率差较小其中，可见，位相差随时间变化，讨论（特殊情况）：即两分振动频为突出不同频率产生效果，设两分振动振幅相等，初位相均为零，即：得,合振动初相：合振幅：合振动位移：可见，合振动位移是以较高角频率而变化;而合振动的振幅是以较低频率变化，范围在为突出不同频率产生效果，设两分振动振幅相等，初位得,合振动初tttttttt拍：由两个频率都较大而频率差又很小的同方向的简谐振动合成时，产生合振幅时而加强时而减弱的周期性变化现象。一拍：合振幅变化的一个周期。拍频：单位时间内拍出现的次数。若振幅变化的周期为T拍拍现象的频率等于两个分振动频率之差。拍：由两个频率都较大而频率差又很小的同方向的简谐一拍：合振幅6.5.3互相垂直的同频率谐振动的合成以上两式实为质点运动的运动方程，消去t即可得质点运动的轨迹方程。轨迹方程简化为：6.5.3互相垂直的同频率谐振动的合成以上两式实为质点运动的YXSA1A2任意时刻位移：可见，仍是简谐振动。YXYXSA1A2任意时刻位移：可见，仍是简谐振动。YXYXYX5轨迹为一般椭圆顺时针方向运动逆时针方向运动YXYX5轨迹为一般椭圆顺时针方向运动逆时针方向运动6.5.4相互垂直的不同频率简谐振动的合成周相差：随时间变化当和相差不大时，随时间由缓慢变化，轨迹由直线变成椭圆，又由椭圆变成直线。如果和相差较大时，合振动复杂，但若为整数比时，能得到稳定的封闭轨道曲线。在图上就是图形与OX轴、OY轴相交点的数目比。6.5.4相互垂直的不同频率简谐振动的合成周相差：随时间变化

一、阻尼振动能量减小的原因：1）磨擦阻力的存在2）引起邻近质点振动，以波的形式向周围传播能量。因能量耗散而衰减的振动称阻尼振动。又因能量与振幅平方成正比，又称减幅振动。6.6阻尼振动受迫振动共振一、阻尼振动能量减小的原因：1）磨擦阻力的存在2）引起邻近质振动物体速度不太大时，阻力正比速度且回复力据牛顿第二定律有：即：阻尼振动微分方程令不存在阻力时的固有频率阻尼系数振动物体速度不太大时，阻力正比速度且回复力据牛顿第二定律有：1)当时:(小阻尼)由初始条件决定t讨