第二章-流体力学的基本方程课件

《高等流体力学》电子课件上海电力学院能源与环境工程学院工程热物理学科《高等流体力学》电子课件上海电力学院1§2.1连续方程

方程建立的理论依据：质量守恒定理系统的质量守恒：控制体的质量守恒：

在流动过程中，流体系统的体积V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。

控制体的质量净流量等于控制体内流体质量的变化量§2.1连续方程方程建立的理论依据：质量守恒定理系统的2§2.1连续方程

一、连续方程推导方法之一从拉格朗日系下出发，流体系统的质量保持不变。取一个流体系统，其体积为τ(t),流体系统的质量为：故：由雷诺输运定理，注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)§2.1连续方程一、连续方程推导方法之一从拉格朗日系下3§2.1连续方程

一、连续方程推导方法之一上述积分的积分区域τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，或张量形式：或§2.1连续方程一、连续方程推导方法之一上述积分的积分4§2.1连续方程

二、连续方程推导方法之二从欧拉系下出发，控制体的质量净流入量=控制体内流体质量的变化量1.笛卡尔坐标系下的连续方程控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。x轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流入的流体质量：右面微元面积流出的流体质量：§2.1连续方程二、连续方程推导方法之二从欧拉系下出发5§2.1连续方程

二、连续方程推导方法之二x轴方向流体的净流出量：1.笛卡尔坐标系下的连续方程y轴方向流体的净流出量：z轴方向流体的净流出量：§2.1连续方程二、连续方程推导方法之二x轴方向流体的6§2.1连续方程

二、连续方程推导方法之二1.笛卡尔坐标系下的连续方程微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化量：故：§2.1连续方程二、连续方程推导方法之二1.笛卡尔坐标7§2.1连续方程

二、连续方程推导方法之二2.正交曲线坐标系下的连续方程控制体的选取:边长为ds1，ds2，ds3的微元平行六面体。§2.1连续方程二、连续方程推导方法之二2.正交曲线坐8§2.1连续方程

二、连续方程推导方法之二2.正交曲线坐标系下的连续方程圆柱坐标系：球坐标系：笛卡尔坐标系：§2.1连续方程二、连续方程推导方法之二2.正交曲线坐9§2.1连续方程

三、连续方程的物理意义——流体系统的相对密度变化率——流体系统的相对体积变化率——单位体积的流体控制体的质量变化率——单位体积的流体控制体的质量净流出量§2.1连续方程三、连续方程的物理意义——流体系统的相10§2.1连续方程

四、其他形式的连续方程1.定常流动2.不可压缩流体注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。但例：密度分层流动在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。均质不可压缩流体：§2.1连续方程四、其他形式的连续方程1.定常流动2.11§2.1连续方程

四、其他形式的连续方程3.有源、汇的连续方程4.积分形式的连续方程定常流动：不可压缩流体：§2.1连续方程四、其他形式的连续方程3.有源、汇的连12§2.2动量方程

方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理系统的牛顿第二定理：

在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。系统的动量定理：系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。§2.2动量方程方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量13§2.2动量方程

一、动量方程的推导系统的动量定理：系统的动量:作用在系统上的质量力:作用在系统上的表面力:由动量定理得积分形式的动量方程:§2.2动量方程一、动量方程的推导系统的动量定理：系统14§2.2动量方程

一、动量方程的推导将应力张量代入得：由雷诺输运公式的简化形式得，注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)利用高斯公式得，§2.2动量方程一、动量方程的推导将应力张量代入得：由15§2.2动量方程

一、动量方程的推导上述积分的积分区域τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，张量形式:或守恒形式:或§2.2动量方程一、动量方程的推导上述积分的积分区域τ16§2.2动量方程

二、动量方程的物理意义方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是密度与当地加速度项的乘积；由速度的不定常性引起；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起；即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。

方程右边表示单位体积流体所受的力：第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。§2.2动量方程二、动量方程的物理意义方程左边表示单位17§2.2动量方程

三、N-S方程本构方程：故：代入动量方程后得N-S方程：矢量形式：§2.2动量方程三、N-S方程本构方程：故：代入动量方18§2.2动量方程

三、N-S方程通常，粘性系数λ和μ是温度的函数，若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。故：λ和μ在流场中均匀时：不可压缩流体：理想流体：§2.2动量方程三、N-S方程通常，粘性系数λ和μ是温19§2.3能量方程

方程建立的理论依据：能量转换及守恒定理系统的能量转换及守恒定理（热力学第一定律）：

在流动过程中，流体系统的能量增加量等于外界对其做功及传入热量之和。控制体的能量转换及守恒定理：

控制体能量的净加入量等于控制体内流体能量的变化量§2.3能量方程方程建立的理论依据：能量转换及守恒定理20§2.3能量方程

一、总能量方程的推导任取流动系统，体积τ(t)，外表面A(t)

，根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，单位质量流体的内能：质量力作功功率：单位质量流体的动能：表面力作功功率：外界传入的热量：§2.3能量方程一、总能量方程的推导任取流动系统，体积21§2.3能量方程

一、总能量方程的推导由雷诺输运公式的简化形式得，注意：在使用输运公式后，随时间变化的系统的体积τ(t)已经被初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了。§2.3能量方程一、总能量方程的推导由雷诺输运公式的简22§2.3能量方程

一、总能量方程的推导利用高斯公式得，得：上述积分的积分区域τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函数等于零，故微分形式的总能量方程为：§2.3能量方程一、总能量方程的推导利用高斯公式得，得23§2.3能量方程

一、总能量方程的推导张量形式：§2.3能量方程一、总能量方程的推导张量形式：24§2.3能量方程

二、动能方程的推导动量方程上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作点乘，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。两边同乘ui，§2.3能量方程二、动能方程的推导动量方程上述方程可看25§2.3能量方程

二、动能方程的推导方程左侧是单位体积流体动能的变化率。方程右侧第一项是表面力对单位流体的做功功率。方程右侧第二项是质量力对单位流体的做功功率。动能方程表明流体在流动过程中表面力和质量力作功，只能使流体动能增加，而对内能变化无贡献。§2.3能量方程二、动能方程的推导方程左侧是单位体积流26§2.3能量方程

三、内能方程的推导内能方程=总能量方程–动能方程上两式相减得：上式左侧表示单位体积流体内能的变化率。上式右侧第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示传热功率。1.内能方程的推导§2.3能量方程三、内能方程的推导内能方程=总能量27§2.3能量方程

三、内能方程的推导由本构方程得，上式第一项是外部压强所做的压缩功功率，该功率可逆转。第二项是流体变形时粘性力所做的功率，不可逆转，称耗损函数，记为Φ。2.耗损函数写成对称张量与反对称张量之和的形式。§2.3能量方程三、内能方程的推导由本构方程得，上式第28§2.3能量方程

三、内能方程的推导由本构方程2.耗损函数得：代入sjj和sij的具体表达式，耗散函数是流体变形时粘性应力的作功功率，它不可逆转地转换成为热能，故始终为正值。§2.3能量方程三、内能方程的推导由本构方程2.耗损函29§2.3能量方程

三、内能方程的推导3.传热项的导热形式向流体的传热有多种形式：导热、辐射、化学反应等。若只考虑导热，§2.3能量方程三、内能方程的推导3.传热项的导热形式30§2.3能量方程

四、其它形式的能量方程内能方程连续方程热力学关系式，代入得，§2.3能量方程四、其它形式的能量方程内能方程连续方程31§2.3能量方程

四、其它形式的能量方程用熵和焓表示的能量方程，§2.3能量方程四、其它形式的能量方程用熵和焓表示的能32§2.4牛顿流体的基本方程

基本方程组包括:(1)连续方程，(2)N-S方程，(3)能量方程，

(4)状态方程，(5)内能公式(1)7个未知量uj,ρ,p,e,T，7个方程，方程封闭。(3)通常只考虑重力(2)λ,μ,k是p,T的函数。(4)对于完全气体，§2.4牛顿流体的基本方程基本方程组包括:(1)连续方33§2.4牛顿流体的基本方程

当密度ρ为常数时，上述连续方程和N-S方程共4个标量方程，未知量uj、p也是4个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、N-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。不可压缩流体（动力粘性系数μ为常数）

§2.4牛顿流体的基本方程当密度ρ为常数时，上述连续方34§2.5边界条件

流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出定解条件。初始条件和边界条件。1.初始条件在流体流动区域边界上方程组的解应该满足的条件。

一、定解条件定解条件包括：初始条件和边界条件。初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即t=t0时2.边界条件§2.5边界条件流体力学微分方程组是描述35§2.5边界条件

二、曲面上的弯曲压强当液体分界面两边为不同介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧的压强不相等，凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。§2.5边界条件二、曲面上的弯曲压强36§2.5边界条件

三、液液分界面的边界条件1.动力学边界条件作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，上式中：(1)n指向介质1，

(2)R1、R2的曲率半径中心在n指向一侧时取正值。

(3)∑(1)、∑(2)分别是介质1、2的应力张量。(4)σ是表面张力系数。介质2介质1§2.5边界条件三、液液分界面的边界条件1.动力学边37§2.5边界条件

三、液液分界面的边界条件1.动力学边界条件分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。介质2介质1将上式分解为法向和切向分量，§2.5边界条件三、液液分界面的边界条件1.动力学边38§2.5边界条件

三、液液分界面的边界条件2.运动学、热力学条件运动学条件：界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。介质2介质1热力学条件：界面两侧温度和热流量相等§2.5边界条件三、液液分界面的边界条件2.运动学、39§2.5边界条件

四、液固分界面的边界条件2.运动学条件界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。3.热力学条件界面两侧温度和热流量相等1.动力学条件固壁静止时，通常，在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中的应力，故无动力学条件§2.5边界条件四、液固分界面的边界条件2.运动学条40§2.5边界条件

五、无穷远条件物体在无界区域中运动时，需给出无穷远处的边界条件。坐标系取在运动物体上时，§2.5边界条件五、无穷远条件物体在41§2.5边界条件

六、液气分界面的边界条件