初二数学北京版无理数与实数3

无理数与实数（3）

初二年级数学北京市中小学空中课堂复习引入通过前面的学习我们知道、和都是无理数．这些都是它们的近似值，且结果均精确到0.01．用计算器求出：，，．问题一：

、和分别在哪两个连续整数之间？复习引入根据，，

，可得，，

．问题二：你能不用计算器直接估计在哪两个连续整数之间吗？分析：由于采用前后夹击逼近的方法可以找到一个无理数的大致范围．复习引入所以因此即在1和2之间．

无理数的估算用整数或有理数去估计无理数的大致范围．复习引入

无理数的估算与近似计算近似计算估算精确度计算工具或方法复习引入

无理数的估算与近似计算近似计算估算精确度更高大致范围计算工具或方法复习引入

无理数的估算与近似计算近似计算估算精确度更高大致范围计算工具或方法计算器等前后夹击逼近的方法复习引入探索活动一：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．

分析：利用前后夹击逼近的方法估计介于哪两个连续整数之间，就必须找到11在哪两个连续正整数的平方之间．探索新知探索活动一：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．分析：知道，，而，探索新知所以．探索活动一：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．

分析：那么如何估计更接近于哪个整数呢？只须再进一步比较11与3.5的平方的大小．探索新知因为，所以更接近整数3．探索活动一：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．

解：由于，

因此估计介于3和4之间，更接近于3．探索新知探索活动二：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．

分析：利用前后夹击逼近的方法估计介于哪两个连续整数之间，就必须找到11在哪两个连续整数的立方之间．探索新知探索活动二：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．分析：探索新知知道，，而，所以．探索活动二：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．

分析：那么如何估计更接近于哪个整数，就需要进一步比较11与2.5的立方的大小．探索新知因为，所以更接近整数2．探索活动二：

估计介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数．

解：由于，，因此估计介于2和3之间，更接近于2．探索新知快速估算一：

估计介于哪两个连续整数之间．探索新知快速估算一：估计介于哪两个连续整数之间．

分析：利用前后夹击逼近的方法来估算

,只需确定被开方数53在哪两个连续正整数的平方之间就可以了．探索新知快速估算一：

估计介于哪两个连续整数之间．

解：由于，，所以，即在7到8之间．探索新知快速估算二：估计介于哪两个连续整数之间．探索新知快速估算二：估计介于哪两个连续整数之间．分析：利用前后夹击逼近的方法来估算

,只需确定被开方数5在哪两个连续整数的立方之间就可以了．探索新知快速估算二：估计介于哪两个连续整数之间．

解：由于，，

所以，即在1到2之间．探索新知巩固应用练习：1．比较大小：．练习：1．比较大小：．方法一：把这两个数都化成小数，取它们的近似值，然后进行比较．

由于，，所以．巩固应用练习：1．比较大小：．方法二：利用估算的方法来估计这两个数的大致范围．

由于，即．

又因为，即

．

所以．巩固应用练习：2．估计99的立方根的大小在（）A．2与3之间

B．3与4之间

C．4与5之间

D．5与6之间

巩固应用练习：2．估计99的立方根的大小在（）A．2与3之间

B．3与4之间

C．4与5之间

D．5与6之间分析：我们需要先确定99在哪两个连续整数的立方之间．

所以．因此选C．由于，，C巩固应用估算与数轴表示：1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（

）

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q巩固应用估算与数轴表示：1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（

）

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q分析：由于，，所以．A因为更接近4，而在3与4之间有Q和M两个点，所以选A．巩固应用估算与数轴表示：2．请将数轴上的各点与下列实数对应起来：，，，

．

0123-1-2-3-44DCAB5有理数巩固应用估算与数轴表示：2．请将数轴上的各点与下列实数对应起来：，，，

．

0123-1-2-3-44DCAB5无理数巩固应用分析：需要通过估算确定它们在哪两个连续整数之间．估算与数轴表示：2．请将数轴上的各点与下列实数对应起来：，，，．

解：点A表示

，点B表示

，点C表示

，点D表示

．

0123-1-2-3-44DCAB5巩固应用挑战一下：

不用计算器，估计的值在哪两个连续整数之间．巩固应用挑战一下：

不用计算器，估计

的值在哪两个连续整数之间．

分析：需要分别估算

、在哪两个连续整数之间．可知所以的值在5到7之间．巩固应用在2到3之间．而

在3到4之间．挑战一下：

不用计算器，估计的值在哪两个连续整数之间．

分析：所以的范围在5到7之间肯定是不对的．因此我们还必须确定

和分别更接近于哪个整数．巩固应用挑战一下：

不用计算器，估计的值在哪两个连续整数之间．

分析：由于，且更接近3，所以的值应该在6到7这两个连续整数之间．且更接近4，而

，巩固应用也就是大于2.5．也就是大于3.5．估算在实际问题中的应用例太阳的体积约是地球体积的130万倍．若将它们近似地看成球体，估算太阳的半径约是地球半径的多少倍．（球体体积公式V

）例太阳的体积约是地球体积的130万倍．若将它们近似地看成球体，估算太阳的半径约是地球半径的多少倍．（球体体积公式V

）分析：假设太阳和地球的半径分别为R和r，太阳的体积和地球体积分别表示为和．估算在实际问题中的应用例太阳的体积约是地球体积的130万倍．若将它们近似地看成球体，估算太阳的半径约是地球半径的多少倍．（球体体积公式V）分析：由题意，得．变形，得．两边开立方，得．估算在实际问题中的应用例太阳的体积约是地球体积的130万倍．若将它们近似地看成球体，估算太阳的半径约是地球半径的多少倍．（球体体积公式V）分析：但是数据较大，不好处理．

发现，只需对进行估算即可．可将式子变形为．估算在实际问题中的应用例太阳的体积约是地球体积的130万倍．若将它们近似地看成球体，估算太阳的半径约是地球半径的多少倍．（球体体积公式V

）分析：因为，，而．

即

，所以估算在实际问题中的应用且更接近11．解：设太阳和地球的半径分别为R和r．由题意，有．

∴

．∵

，

，∴估得

介于10和11之间，但更接近11．∴．

∴

．答：太阳的半径约是地球半径的110倍．例题再思考：再用计算器算一算，比较一下两次的结果．通过计算器计算，得

，精确到0.1，

．

而前面得到：，精确到个位，

．由此发现：估计是有误差的，精确度越高，估计的越准确．

估算在实际问题中的应用练习：一个正方体玻璃水缸的容积为

，估计它的棱长（）．A．小于5dm

B．大于5dm小于6dm

C．等于20d