广东省湛江市岭北中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省湛江市岭北中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（） A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可． 【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==， tanα==﹣． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．2.如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且则△ABP与△ABC的面积之比等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.在函数中，最小正周期为的函数的个数为（

）A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B考点：函数的周期性.4.设函数y=x2与y=的图象交点为（x0，y0），则x0所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：B【考点】56：二分法求方程的近似解．【分析】利用方程的解与函数的零点的关系，结合零点判定定理求解即可．【解答】解：函数y=x2与y=的图象交点为（x0，y0），x0方程x2=的解，就是函数f（x）=x2﹣的零点．∵f（2）=22﹣1=3＞0，f（1）=1﹣2=﹣1＜0，∴f（1）?f（2）＜0．由零点判定定理可知：方程的解在（1，2）内．故选：B．5.若i为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是()

参考答案：C略6.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为A． B． C．

D．参考答案：D7.函数函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）ex求导，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故选：D．8.下列命题中的假命题是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个周期为

B．的图像关于直线对称

C.的一个零点为

D．在区间上单调递减参考答案：D10.已知集合，为集合到集合的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有(

)

A．7种 B．4种 C．8种 D．12种参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线过椭圆的左焦点和一个顶点B.则该椭圆的离心率____.参考答案：略12.设x、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，则x+y+z的取值范围是__________参考答案：略13.设,则的最小值为

。参考答案：9本题考查基本不等式的应用，难度中等。因为当且仅当即时取等号。14.在等差数列{an}中，若a2+a5=，则数列{an}的前6项的和S6=．参考答案：2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a1+a6，再由等差数列的前n项和公式求得S6．【解答】解：在等差数列{an}中，∵，∴S6==．故答案为：2．15.已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．给出下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③函数f（x）在（﹣∞，0）上的零点是x=lg；④若f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）；⑤对任意的x1，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①③⑤【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】画出函数f（x）=（a是常数且a＞0）的图象，①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③函数f（x）在（﹣∞，0）的零点是lg；④只需说明f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；⑤已知函数f（x）的图象在（﹣∞，0））上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方．【解答】解：对于①，由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；对于②，由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；对于③，函数f（x）在（﹣∞，0）的零点是lg，故正确；对于④，只需说明f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故错；对于⑤，已知函数f（x）在（﹣∞，0）上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③⑤．【点评】利用函数的图象研究函数的单调区间，以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．16.在二面角中，且已知

,,则二面角的余弦值为

▲

参考答案：17.已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米):

甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.参考答案：(1)茎叶图如图所示:(2分)甲

乙9013591237

111213140046704667

统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;③甲种树苗高度的中位数为127,乙种树苗高度的中位数为128.5;④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.………………4分(每写出一个统计结论得1分)(2)依题意,x＝127,S＝35.

(6分)S表示10株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量.S值越小,表示树苗长得越整齐,S值越大,表示树苗长得越参差不齐.(3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为,则X～B,(10分)所以随机变量X的分布列为

13分19.如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角∠BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F．（Ⅰ）求证：BD∥CE；（Ⅱ）若AB是圆的直径，AB=4，DE=1，求AD的长度．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）根据圆的切线性质结合角平分线的性质即可证明BD∥CE；（Ⅱ）若AB是圆的直径，AB=4，DE=1，根据三角形相似的性质即可求AD的长度．【解答】解：（Ⅰ）∵AC是圆周角∠BAD的角平分线，∴∠EAC=∠BAC，又∵CE是圆的切线，∴∠ECD=∠EAC，∴∠ECD=∠BAC，又∵∠BAC=∠BDC，∴∠ECD=∠BDC，∴BD∥CE…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ECD=∠BAC，∠CED=∠ADB，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，∴，∴，∵∠EAC=∠DBC，由（Ⅰ）知∠EAC=∠BDC，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，∴，则BC2=AB?DE=4，∴BC=2∴在Rt△ABC中，，∴∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，∴在Rt△ABD中，∠ABD=30°，所以．…10分．20.（本小题满分14分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值．参考答案：（法一）（1）取中点为，连接、，且，，则且．…………2分

四边形为矩形，且，且，，则．平面，平面，

平面．

……………………4分（2）过点作的平行线交的延长线于，连接，，，，

，，，四点共面．四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角．……7分，．即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……9分（3）过点作于，连接，根据（2）知，，，四点共面，，，，又，平面，

，则．又，平面．直线与平面所成角为．

……………11分，，，，，．即直线与平面所成角的余弦值为．……………14分（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：，，，，，，则，．

………………2分，，为平面的一个法向量．又，平面．

…………4分（2）设平面的一个法向量为，则，，，

取，得．……………6分平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则．因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…9分（3）根据（2）知平面一个法向量为，，

，………12分设直线与平面所成角为，则．因此，直线与平面所成角的余弦值为．………14分21.已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.参考答案：解：.

（Ⅰ），解得.

（Ⅱ）.

①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.

②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在