2022-2023学年安徽省合肥市新站区八年级（下）期末数学试卷(含解析)

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第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列式子中，一定是二次根式的是()

A.B.C.D.

2.若关于的方程是一元二次方程，则的值是()

A.B.C.D.

3.如图，在四边形中，，，，，，则的长度为()

A.B.C.D.

4.如图，正方形的边长为，延长至点，，连接交于点，连接，并取的中点，连接并延长交于点，则()

A.B.C.D.

5.劳动职员统计了某周全班同学的家庭劳动次数单位：次，按劳动次数分为组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足次的概率是()

A.B.C.D.

6.如图，在中，，，的平分线交于点，则的长是()

A.B.C.D.

7.某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存设两次降价的平均降价率为，下面所列方程正确的是()

A.B.

C.D.

8.在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点，若，，则的长为()

A.B.C.或D.成

9.如图，在正方形中，是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，那么的正切值是()

A.

B.

C.

D.

10.已知，是一元二次方程的两个根，则的值是()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11.若代数式有意义，则任写一个符合条件的值______．

12.如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则．

13.杨辉在田亩比类乘除捷法记载以下问题：

题：直填积八百六十四步，只云阔不及长十二步，同长阔共几何？

答：六十岁．

术：四因积步，以差步自乘，并而开平方除之，得长调共步．

“题”、“答”、“术”的意思大致如下：

问题：已知长方形的面积为，长宽之差为，则长宽之和为多少？

答案：．

解法：如图，．

设一个矩形的边长分别是，，请用一个等式解释上述解法的数学原理：______用含，的式子表示

14.如图，将沿方向平移至处若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

计算：．

16.本小题分

用公式法解方程：．

17.本小题分

已知：方程是关于的一元二次方程．

求的值；

若该方程无实数根，求的取值范围．

18.本小题分

已知：中，，

尺规作图：求作的中点，连并延长，交于点保留作图痕迹，不写作法

从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知条件，求的余弦值．

条件：和的面积为和，且：：；

条件：和的周长为和，且．

注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分．

19.本小题分

在中，边，，的长分别为，，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，采用在边长为的正方形网格中画出格点即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图所示，这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．

请你根据图求出的面积．

若三边的长分别为，，，请在图的正方形网格中画出相应的，并利用构图法求出它的面积．

20.本小题分

如图，菱形中，对角线，交于点，，求证：四边形是矩形．

21.本小题分

某文具店自疫情以来网络销量不断增大，为了节省快递费用，与快递公司协商后

达成协议，协议部分内容如下：

同城快递发货费用每件价格固定，但低于外市快递每件发货价格．

外市快递每日发货不超过件时，发货价格按每件元计算，超过件时超过的部分每件发货价格有一定的优惠．

注：文具店单件货品不超过标准重量，外市快递不包含偏远地区

文具店每日同城快递和外市快递各自发货所花金额元与各自发货件数件之间的函数关系如图所示：

求同城快递每件发货价格．

求外市快递发货费用与外市发货件数的函数关系式．

文具店某日发货件同城和外市均有销量，共花费元，求这一天文具店同城快递发货件数．

22.本小题分

已知是等腰直角三角形，，，点是边上的一个动点不与点，重合，点在直线上，连接，，且．

若点是线段上一点，如图，作点关于直线的对称点，连接，，则与的数量关系为______；位置关系为______；

若点是线段延长线上一点，如图，作点关于直线的对称点，连接，，求证：；

如图，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不符合二次根式定义，

则不符合题意；

，符合二次根式的定义，

则符合题意；

不符合二次根式定义，

则不符合题意；

当时，不符合二次根式定义，

则不符合题意；

故选：．

形如的式子即为二次根式，据此进行判断即可．

本题考查二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，

且，

解得：，

故选：．

根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键．

3.【答案】

【解析】解：延长，交于，

，

，

是等边三角形，

，，

，，

，

故选：．

延长，交于，根据邻补角的定义得到，求得是等边三角形，推出，，根据勾股定理即可得到结论．

本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：延长、相交于点，如图：

是中点，

，

又，，

≌，

，

，

∽，∽，

，，

，

，

又，，

，

过作于点，

是中点，

，，

，

在中，

，

故选：．

先作辅助线构造全等三角形，然后利用∽，从而求出的长，再过作的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可求解．

本题考查正方形的性质、全等三角形、相似三角形的性质，解答过程中作辅助线是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：，

故选：．

根据条形统计图，求出周家庭劳动次数不足次的学生数占总人数的几分之几即可．

本题考查频数分布直方图，概率的定义，理解概率的定义是解决问题的关键．

6.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，

，

又平分，

，

，

，

．

故选：．

根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．

本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．

7.【答案】

【解析】解：设该商品的原价为元，则经过两次降价后的价格为元，

根据题意得：，

即．

故选：．

设该商品的原价为元，则经过两次降价后的价格为元，利用经过两次降价后的价格原价两次降价的平均降价率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：连接，

四边形是矩形，

，，

是的中点，

，

由折叠得，，，

，，，

在和中，

，

≌，

，

当点线段上，如图

，

，

，

；

当点在线段的延长线上，如图，

，

，

，

，

综上所述，的长为或，

故选：．

连接，由矩形的性质得，，由是的中点，得，由折叠得，，，则，，，可证明≌，得，再分两种情况讨论，一是点线段上，因为，所以，则，由勾股定理得；二是点在线段的延长线上，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案．

此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：由折叠可得，，

正方形中，是边的中点，

，

，

，

是的外角，

，

，

，

．

故选：．

由折叠可得，，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到，进而可得，求解即可．

本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质及折叠的性质．

10.【答案】

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，

，，

．

故选：．

根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．

11.【答案】答案不唯一

【解析】解：要使代数式有意义，必须且，

解得：且，

符合条件的值为．

故答案为：答案不唯一．

根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可．

本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件是解此题的关键，注意：中．

12.【答案】

【解析】解：由多边形的外角和等于可知，

．

故答案为：．

根据多边形的外角和等于解答即可．

本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：，

即．

故答案为：．

根据题意列算式，化简即可得到结论．

本题考查了一元二次方程的应用，二次根式的乘除，正确地理解题意是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：沿方向平移至处．

，

故答案为：．

利用平移的性质得到即可得到结论．

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．

15.【答案】解：

．

【解析】根据，，二次根式的运算，即可求解．

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式，，，二次根式的运算法则．

16.【答案】解：变形得：．

，

，

，．

【解析】根据公式法解方程即可．

本题考查了公式法解一元二次方程：先算判别式断定根的情况，然后代入计算．

17.【答案】解：方程是关于的一元二次方程，

，，

解得：，，

；

由可得方程：，

方程无实数根，

，

解得：．

【解析】由一元二次方程的定义进行分析即可；

利用根的判别式进行求解即可．

本题主要考查根的判别式，一元二次方程的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．

18.【答案】解：如图，即为所求；

条件：中，，为中点，

，

，

和的面积为和，且：：，

：：

，

设，，

，

在中，，

；

条件：中，，为中点，

，

，

和的周长为和，且，

，即，

设，则，

，

过点作于点，

则，

，

，

，

，

∽，

，

设，则，

，，

∽

，

，

解得，

，

，

，

．

【解析】根据线段垂直平分线的画法及线段的画法解答；

条件：根据直角三角形斜边中线的性质得到，推出：：，即，设，，勾股定理求出，根据余弦定义求值；条件：根据，推出，设，勾股定理求出，过点作于点，证明∽，得到，设，则，证得∽，得到，列得，求出，勾股定理求出，即可．

此题考查了线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

19.【答案】解：如图，；

如图所示，

．

【解析】根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计算；

根据勾股定理画出，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计算即可．

本题考查的是勾股定理、三角形和正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．

20.【答案】证明：，，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形，

，

，

平行四边形是矩形．

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论．

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．

21.【答案】解：同城快递发货费用每件价格固定，当发货件时费用为元，

同城快递每件发货价格为元．

当时，，

当时，．

设当时，．

将坐标和代入，得，解得，

．

综上，．

设同城快递发货件，那么外市快递发货则为件．

若，即，则有，解得．

若，即，则有，解得舍去．

这一天文具店同城快递发货件．

【解析】同城快递发货费用每件价格固定，当发货件时费用为元，由此可求得价格；

分段函数：分别求出当和时的与的函数关系式；

设同城快递发货件，那么外市快递发货则为件．对于外市价格部分，要分段讨论计算，取符合要求的数值．

本题考查二次函数的应用，难度不大，但计算过程要认真、细心，防止出错．

22.【答案】

【解析】解：，，关于直线对称，

，，

，

，

，

≌，

，，

，，

，

，

，

；

故答案为：，；

证明：如图：

，，关于直线对称，

，，，

，

，

，

≌，

，，

，，

，

，

，

，

；

解：作关于的对称点，连接，，，

当在左侧时，如图：

，，

，

，