立体几何坐标法教师版

立体几何坐标法:一：一般的公式：1、空间角⑴(线线)设异面直线I】，l2的方向向量分别为mvm2,则I】与l2的夹角e满足cose=lcos〈m】，m"I.⑵(线面)设直线l的方向向量和平面a的法向量分别为m,m,则直线l与平面a的夹角e满足sine=lcos〈m,n)I.(3)(面面)求二面角的大小(i)如图①，AB、CD是二面角以-1书的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小e=〈AB,CD).①②③(ii)如图②③，n1，n2分别是二面角a-l-p的两个半平面a,&的法向量，则二面角的大小e满足cose=cos〈n】，n2)或一cos〈n】，n2).2、距离(】)点面距的求法：设AB为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量，则B到平面a的距离'=岑|型.(2)线面距、面面距均可转化为点面距iaBi⑶两异面直线的距离求法：d=-jnF-(AB是异面直线上任意两点 ):如何选择建系:

8、在如图所示的几何体中，EA1平面ABC,DB1平面ABC,AC=BC=BD=2AE，m是AB的中点.（I） 求证：CM1EM；（II） 求CM与平面CDE所成的角.AC1BC，且AC1BC，且19.（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC1平面ACD，AB1BC，AD=CD，ACAD=30。.（I） 若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积；（II） 若二面角C-AB-D为60。，求异面直线AD与BC所成角的余弦值.题（19）图28.【2012高考四川文19】（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，ZAPB=90。，ZPAB=60°，AB=BC=CA，点P

在平面ABC内的射影O在AB上。求直线PC与平面ABC所成的角的大小;求二面角B-AP-C的大小。三：添加z轴，通过公式算出来的：S点。全国的19.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)•・・・・・・・.如图，四棱锥s-ABCD中，AB^CD,BC±CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1. s-(I)证明：SD1平面548；(II)求AB与平面SBC所成角的大小.三：经典练习;26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上.・・・.作答无效）••••如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA1底面ABCD，AC=2克,PA=2,E是PC上的一点，PE=2EC。（I） 证明：PC1平面BED；（II） 设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。成都二诊:（18）（本小题滴分12分）如风成如棱帽P-ARCD申调面ZBCD是边径为$的差形.旦ZDAB=60*.薨彩ABCD的两条对旗线的交点为O,PA=PGPB=PD,且P0=3.点6是蠲段已4曲中点,连接印,EB,EC.（I） 证明函线QE#平而PBQ（II） 求二而甬£—配-。的大小.数老二御^试演（艾）第3页《共4页）19.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8,E、F分别为AD1,CD1中点，G、H分别为棱DA,DC上动点，且EH±FG.求GH长的取值范围；当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线BB的距离.19、如图，四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,四边形ABCD中，AB±AD,AB+AD=4,CD=、2,ZCDA=45。.求证：平面PAB±平面PAD； * 设AB=AP. 若直线PB与平面PCD所成的角为30。，求线段AB的, C长；在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等？说明理由。22.在三棱柱ABC-A1BC1中，已知AB=AC=AA1=^5,BC=4，在A1在底面ABC的1投影是线段BC的中点0。1求点C到平面A1ABB］的距离；求二面角A-BC1-B1的余弦值;若M,N分别为直线AA1,BC上动点，求MN的最小值。用向量法做几何题:

2010年河南预赛：6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为・解:填圣.2设三棱柱ABC-ABC，侧棱长为.，侧面的异面对角线AB,BC互相垂直，则TOC\o"1-5"\h\z111 1 1AB-BC=0n(BB+BA)(BB-BC)=0n 111_1 1BB-BB+BB-BC+BA-bb+BA-Be=0n1 1 1 11 1 11一a2+cos60=0n<2a .9、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2*2ZPAB=60.证明AD1平面PAB；求异面直线PC与AD所成的角的大小；求二面角P一BD一A的大小.BA(2)求二面角BA(2)求二面角C—AB—B的大小；(3)求点C到平面CBA的距离.兀已知斜三棱柱ABC-ABC的各棱长均为2,侧棱BB与底面ABC所成角为一,111 1 3且侧面ABB]A】1底面ABC. B(1)证明：点B在平面ABC上的射影O为AB的中点；所以PC1平面占占》……所以PC1平面占占》……6分A在平面ABC内的射影O在AB上。答案:(19)解法一:(I)因为底面ABCD为豪形，所以HSLMC，XPA_L底面ABCD＞所以pciiiD. ……z分设/iCnEDMF,连结EF.因为AC=2©、p/q,P£=1EC.故PC0&菖"专，心。，从而告=J&『告=J&*FC 从-因为—,EJE“心『所以FCECAFCE50PG4,Zf£C=£PAC二90。，由此知PCLEF.PC与平面锥刀内两条相交宜线EEF都乖直,28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)如图，在三棱锥P—ABC中，ZAPB=90°,ZPAB=60°,AB=BC=CA求直线PC与平面ABC所成的角的大小；求二面角B—AP—C的大小。命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.【答案】【解析】

髀法：(I)雄如N：.由BH.为就浅W小/枇M癖部.计“。中*J顼,性％m、e一四为.1甘〜加.'-r'，L峙：身.力.；Mi【耳丹顼斗=侦r"皿=时彼展△热m为等执-知豚不她愤倒二妙i>n1."■5,册-•；，斯以m二"4.m」n/?\C/7-•.I*'F2-.13ffP% u>/l；KiAW*if*,i^.M：P，十'&r［绽f*C1*T帙i淡用，'脚「芯FJ角"J火小为aM;n: , * <> if(11》过MW g娜3：.dn^i»4f!?.cd■脚J皿K据-顶流定呷一虬任—ff\■所以.(Ef)J;:血角占-M<：的灿佑.1IH3）如*f7) L；(lHI.HJ肥十.丽匚EH....-tilr /5故涌询E—(敢大小为痴函N」<I)没弥的中威为"，连沽皿V；力〃打业鲂加仲；而时。|.的饥分.所以EIt；ft|AHi：.欧口P"UJJfPM<J>.i!；\li-ML■Cl,I-!(：fr..1〃设£为就♦盐.心敏*#M0tiiOA.±m就一一w如园ma加知向:*,w听的'哉分州方■…114：蚓兴m•"1出口小时:，mL护］侦」J"ms…11峭霓伊财UL.mI?).o：(：<1?LE.EO0in所1'丫.『"(i.:L…4)加|门"-5SU；我Ti可睥:褂亍词向;出江虹Art找祁*-；仁吨皿日诚潞f(i.t.,. 1 福"* 1)HI+.1I八TOC\o"1-5"\h\z场阶相“ 72 .异；-叫;i•1上1故在地板!也-册成的布的火亦为mwh &分rll）!|H），."'=：!.0,-3.\（：= ,偷i』尸厂的个溢M肝为Hu（A|hV,..T;},J；:. 5■带“n,< 卜-t.t： -g,、"、：.）•（【0#）=U.

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(x—2)2+(y—2)2+z2=.x2+(y—2)2+z2,故x=1。由IDS1=1得y2+z2=1,又由IBS1=2得x2+(y—2)2+z2=4,1 ；3即y2+z2—4y+1=0,故y=^,z=—^-DS=(0,1,于是S(1,2^23),AS=(—1,—2,孕,BS=(1,—DS=(0,1,,DS-AS=0,DS-BS=0.故DS1AD,DS1BS,又A^[BS=S,所以SD1平面SAB。(II)设平面SBC的法向量a=(m,n,p),则a1BS,a1CB,a-BS=0,a-CB=0.又BS=(1,—；,、),CB=(0,2,0),m——n+—p=0,古攵]2 2'[2n=0.取p=2得a=(f3,0,2),又~AB=(—2,0,0)。cos，：；ab,a=|abb•；|=号.故AB与平面故AB与平面SBC所成的角为arcsin74、如图，四棱锥P-ABCD中，PA上底面ABCD,四边形ABCD中，ABXAD,AB+AD=4,CD=\2，ZCDA=45。.求证：平面PAB1平面PAD；设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30。，求线段AB的长；在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等?说明理由。 /本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。解法一：(I)因为PA1平面ABCD，ACu平面ABCD，所以PA1AB，又AB1AD,P^AD=A,所以AB1平面PAD。又ABu平面PAB，所以平面PAB1平面PAD。(II)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz(如图)在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则CE1AD.在RtACDE中，de=CD•cos45。=1，CE=CD•sin45o=1,设AB=AP=t，贝IB(t，0，0)，P(0，0，t)由AB+AD=4，得AD=4-t，所以E(0,3-1,0),C(1,3-1,0),D(0,4-1,0)，CD=(-1,1,0),PD=(0,4-1,-t).(i)设平面PCD的法向量为n=3,y,z)，由n1CD由n1CD，n1PD，一x+y=0,(4—t)y—tx=0.取x=t，得平面PCD的一个法向量n={t,t,4—t}，又PB=（t,0,-t），故由直线PB与平面PCD所成的角为30。，得cos60。=1I,cos60。=1I,即I2t2—4tI4 4解得t=-或t=4（舍去，因为4 4解得t=-或t=4（舍去，因为AD=4-1>0），所以AB=-.（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，m，0）（其中0<m<4-1）则GC=(1,3-1-m,0),GD=(0,4-1-m,0),GP=(0,-m,t)，由IGCI=IGDI得（4-1-m）2=m2+12，（2）由（1）、（2）消去t，化简得m2-3m+4=0（3）由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。解法二：（I） 同解法一。（II） （i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）在平面ABCD内，作CE//AB交AD于E，则CE1AD。在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则CE1AD.在RtACDE中，de=CD•cos45。=1，CE=CD•sin45°=1,设AB=AP=t，贝，B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以E（0,3-1,0）,C（1,3-1,0）,D（0,4-1,0），CD=(-1,1,0),PD=(0,4-1,-t).设平面PCD的法向量为n=3,y,z），由n由n1CD，n1PD，一x+y=0,(4—t)y—tx=0.取x=t，得平面PCD的一个法向量n={t,t,4-1}，又PB=（t,0,-t），故由直线PB与平面PCD所成的角为30°，得

n-PB-cos60o=1 一I,即I2t2-4tI _1.、云=I2t2-4tI _1.、云=2,4_解得t=5或t=4（舍去，因为AD=4-1>0）,…4所以AB=5.C,D的距离都相等，(ii)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等，由GC=CD，得ZGCD=ZGDC=45。，从而ZCGD=90o，即CG±AD,GD=CD•sin45。=1,设AB=人，则AD=4-人，AG=AD—GD=3—人，在RtAABG中，GB=^AB2+AG2=侦％2+（3—人）2' 3 9=『("-)2+->1,I J J这与GB=GD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等19.解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x辄y轴，z轴建立空间直角坐标系.设DG=a，DH=b，则E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）.:.EH=（—4，b，—4），FG=（a，—4，—4）.VEH±FG.:.EH•FG=—4a—4b+16=0，则a+b=4，即b=4—a.又G1H在棱DA，DC上，则0<a<8,0<b<8，从而0<a<4.TOC\o"1-5"\h\zI I iGH=。2+b2=,a2+（4—a）2=,q2（a—2）2+8.・・・GH取值范围是[2巨，4]. ……6分（2）当GH=2\5时，a=2,b=2.・・・GH=（—2,2,0），EF=（—4,4,0），即EF=2GH.・・・EF〃GH，即EH与FG共面.—2—t（84 8、所以EF=2GH，EF〃GH，则EP=-EH=—-,-,—=.3 k33 3）

设P(x1,y1,z1),则EP=(X1—4,y,z1—4).TOC\o"1-5"\h\z4 4 4 444・盘1=3'yi=3'zi=3,即P(3'3'3)・444 44则P(R，^'R)在底面上ABCD上的射影为M(衣，^'°),又B(8,8,0),20-所以\MB\=—履为点P到直线BB的距离. ……12分22.解:(1)连接AO,因为AO1平面ABC,所以AO1BC，因为AB=AC,OB=OC,得AO1BC,AO=JAB2-BO2=1,在AAOA1中，AO=2,在ABOA1中'A1B=2整,则5aaab=J6.又S^AB=2.设点C到平面AABB的距离为h,1 1则由v=v得'1S -h=1S -AO.从而h=2<6.……4分C-A1ABA1-ABC 3AA^AB 3ACAB1 3⑵如图所示,分别以OA,OB,OA1所在的直线为x,y,z轴'建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C(0,-2,0),A1(0.0,2),B(0,2,0),B^—1,2,2),C、一1,-2,2)iCOyB设平面BCCB的法向量^=(x,y,z),11iCOyB又BB=(-1,0,2),cB=(0,4,0).'n^BB=0 ]-x+2z=0由〈-一^1 ，得<』n，[nCB=0 [4y=0令z=1,得x=2,y=0,即n=(2,0,1)设平面ABC1的法向量m=(a,b,c),又aB=(-1,2,0),AC^=(-2,-2,2).m^AB=0,得m^AB=0,得〈0-a+2b=0mAC=q1-2a-2b+2c=0'令bT,得。=2C=3，即m=山所以一一mn<70cos<m,n>= ———=——-所以ImI-1nI10由图形观察可知'二面角A-BC1-B1为钝角'70 .所以二面角A-BC1-B1的余弦值是-*.……9分⑶方法1.在AAOA中，作OE1AA于点E,因为AA//BB,得OE1BB.i i ii 1因为AO1平面ABC,所以AiO1BC，因为AB=AC,OB=OC,得AO1BC,所以BC1平面AAiO，所以BC1OE,所以OE1平面BBCC.从而OE1BC在AAOA中，OE=孥为异面直线AA,BC的距离，即为MN的最小值。……14分i 5 ii方法2.设向量九=3,y,z)且品1AA,九1BC.iiii,