线性代数阶行列式的性质

线性代数阶行列式的性质第1页，课件共19页，创作于2023年2月为行列式

的转置行列式（Transpose）。

行列式与它的转置行列式相等。

不难用归纳法去证明，证明过程略。

称行列式

性质1

性质1说明，行列式中行和列的地位是对称的。第2页，课件共19页，创作于2023年2月互换第i行与j行（

）得

设行列式

证互换行列式中两行(列)，行列式值变号。

性质2第3页，课件共19页，创作于2023年2月1）

当n=2时显然2）假设对阶数为n-1的行列式，结论成立，下证对n（≥3）阶行列式命题结论也成立。下面用数学归纳法证明：第4页，课件共19页，创作于2023年2月位置互换外，其余各行均相同。并将行列式

与

都按第k行展开，由第一节定理1的结论，得到取定一个k（ki，j），注意到行列式中除去第i行与第j行的与

第5页，课件共19页，创作于2023年2月第k行元素的余子式

，都是n-1阶行列式第6页，课件共19页，创作于2023年2月余各行都相同。由归纳法假设知

对成立，从而由前面的两个展开式可知对n阶行列式也成立。综上，命题得证。

如果行列式中有两行（列）元素对应相等，则此行列式为零。

推论1而且,，除去两行的元素互换外，其第7页，课件共19页，创作于2023年2月

行列式中的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，

证

等式两边分别按第i行展开即得。

性质3即第8页，课件共19页，创作于2023年2月

行列式中某一行（列）中所有元素的公因数，可以提取到行列式符号的前面。

如果行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列式为零。

如果一个行列式的两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。推论2推论3推论4第9页，课件共19页，创作于2023年2月

如果行列式中某行(列)的各元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和。

与性质3的证明类似，将等式左边的行列式按第i行展开即可。这个性质一般称之为行列式分解。证性质4即设该行为第i行第10页，课件共19页，创作于2023年2月

把行列式的某一行(列)的元素的k(k∈R)倍加到另一行(列)上去，行列式的值不变。证

由推论4和性质4即可证得。

性质5

即×K第11页，课件共19页，创作于2023年2月

行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即性质6第12页，课件共19页，创作于2023年2月或第13页，课件共19页，创作于2023年2月作行列式首先由性质2的推论可知，当

时,。则有

再将它按第j行展开,证

(把原行列式中的第j行元素也换为与第i行相同的元素)第14页，课件共19页，创作于2023年2月从而命题得证。

本章第一节中定理1

与上述性质6

的结论可以合并为统一的一个式子：

第15页，课件共19页，创作于2023年2月其中

上述结论非常重要，它是证明许多其它命题的基础。对行列式的列来说也有同样的性质。常称之为函数（KroneckerDelta）第16页，课件共19页，创作于2023年2月二、小结行列式的六个性质行列式性质的四个推论第17页，课件共19页，创作于2023年2月三、思考题

已知4阶行列式试求其第二行元素的代数余子式之和，即

技巧性题第18页，课件共1