第2.6练 指数与指数函数（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章函数第2.6练指数与指数函数一、单选题1．若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【详解】因为函数是指数函数，所以.故选：C2．函数在上的最大值是（）A． B．0C．1 D．3【答案】D【详解】函数在上单调递减，所以当时，.故选：D3．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，所以，而，所以故选：D4．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.5．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．【答案】C【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，即，于是，又，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16.故选：C6．函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】由，得，因此函数的零点即为函数与的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象知，函数与的图象有唯一公共点，所以函数的零点个数为1.故选：B7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为，再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（

）（结果精确到个位）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，所以，，故选：B8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以,又，所以,由高斯函数的定义可得：函数的值域为,故选：C.二、多选题9．已知函数，则（

）A．的值域为 B．是上的增函数C．是上的奇函数 D．有最大值【答案】ABC【详解】解：由题意得：函数的定义域为对于选项A：函数是一条连续的曲线，当趋向于负无穷时，趋近于正无穷，趋近于零，所以趋近于负无穷，当趋向于正无穷时，趋近于零，趋近于正无穷，所以趋近于正无穷，所以的值域为，故A正确；对于选项B：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以是上的增函数，故B正确；对于选项C：的定义域关于原点对称，又，所以是上的奇函数，故C正确；对于选项D：是上的增函数，无最值，所以D错误.故选：ABC10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】对于A中，当，时，满足，此时，故A不成立；对于B中，当，时，满足，此时，故B不成立；对于C中，因为实数，所以，故C成立；对于D，因为实数，，所以，故D成立．故选：CD．11．若，则下列选项中不正确的是（）A．在上单调递减B．与的图象关于y轴对称C．的图象过点D．的值域为【答案】ACD【详解】因为在R上单调递增，则A错误；与的图象关于y轴对称，则B正确；由，得的图象过点，则C错误；由，可得，则D错误，故选：12．已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（

）A．B．在定义域上单调递增C．的导函数D．【答案】BD【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此，对于A,,故A错误，对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，对于C，当且仅当时取等号，而，所以C错误，对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确，故选：BD三、填空题13．已知m，n是正实数，函数的图像经过点，则的最小值为.【答案】/【详解】当时，，且，则，，当且仅当，即时等号成立，故答案为：.14．设，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是.【答案】【详解】作出函数的图象，如图所示，因为由三个不同的实数根，即函数与的图象有三个不同的交点，结合图象，可得，即实数的取值范围为.故答案为：.

四、解答题15．化简与求值：(1)；(2)．【详解】（1）（2）16．已知函数，且.(1)求的解析式；(2)当时，求的值域．【详解】（1）由函数，，得，所以.（2）设，因为，所以，所以，，由的对称轴为，如图所示：

由图可知：当，即时，有大值，当，即时，有最小值，故的值域是.17．某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.

(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?【详解】（1）由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为，可得，解得所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.（2）当，令，则，整理得，则，解得，所以至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室.18．已知函数（，且）是奇函数，且．(1)求，的值；(2)若对于，不等式成立，求的取值范围．【详解】（