第五部分拉普拉斯变换课件

第五章拉普拉斯变换§5.1拉普拉斯变换的定义、收敛域§5.2拉普拉斯变换的基本性质§5.3拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系§5.4拉普拉斯反变换§5.5拉普拉斯变换分析法§5.6系统函数1本章要点拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏变换拉氏变换的性质，收敛域卷积定理(S域)周期和抽样信号的拉氏变换系统函数和单位冲激响应拉氏变换与傅氏变换的关系2§5.1拉普拉斯变换的定义、

收敛域一.拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉氏变换二．拉氏变换的收敛三．一些常用函数的拉氏变换3一、拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件：u(t)增长信号周期信号若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，于满足狄里赫利条件4因果象函数正LT原函数逆LTFT:实频率是振荡频率LT:复频率S

是振荡频率，控制衰减速度5拉氏变换已考虑了初始条件终值初值，若有跳变则为6二．拉氏变换的收敛收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；7收敛域有始有终信号和能量有限信号或等幅振荡信号和增长信号

不收敛信号除非整个平面以为界8双边拉氏变换收敛域—9不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的象函数。10收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换11说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。12三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号134．tnu(t)14常用信号的拉氏变换15§5.2拉普拉斯变换的

基本性质16拉氏变换的基本性质（1）线性微分积分时移频移17拉氏变换的基本性质（2）尺度变换终值定理卷积定理初值定理181.线性2.时移性一、拉氏变换的性质19观察下列图形的时移关系t0t0t0t020解（1）和（2）的单边拉氏变换相同求下列拉氏变换2122例求锯齿波的拉氏变换解：TTT由时移性所以：tTEtEtEtk=-E/T23利用时移可以求单边周期信号的拉氏变换设f1(t)表示第一个周期的函数24例求半波正弦函数的拉氏变换0T/2T

tf(t)E0T/2

tf1(t)E0T/2T

tE0T/2T

tE25263.比例性（尺度变换）例已知L[f(t)]=F(s)，试求解：先时移性后比例性由时移性再由比例性27再由时移性由比例性另解：先比例性后时移性284.频移性解:例:求拉氏变换时移性频移性295时域微分主要用于研究具有初始条件的微分方程证明:由定义30依此类推,可得若f(t)为有始函数,则同理可得3110t1-10t解：所求信号的拉氏变换不同

326时域积分证明:由定义33所以若积分下限由开始34例求拉氏变换1012tf(t)1012tf’1(t)(2)(1)1012tf’(t)f1(t)(1)解：f(t)求导f1(t)求导357初值定理证明:利用时域微分性质3637初值定理条件必须存在,时域中意味着f(t)

本身不能包含冲激.但由于的存在,不影响的值,可把移去后再应用初值定理,即只取真分式

例.求初值本例中应用初值定理先求真分式388.终值定理两边取s趋于零的极限证明:由时域微分性质39条件存在相当于在复频域中的极点都在S平面的左半平面和原点仅有单极点.虚轴上只能在原点,如40例.给定,试求的终值解:因为F(s)的极点为s=0,-1和-2,满足终值定理的条件求终值首先判断极点位置其极点s=在s平面的右半平面.不能用终值定理.否则得到是错误的.419.复频域微分证明:拉氏变换还有其他性质,如时域卷积和复频域卷积,无对称性.4210.复频域积分证明:4344例1

求下列函数的拉氏变换二、应用举例45复频域微分性4647例2：求函数的拉氏变换方法一：按定义式求积分方法二：利用线性叠加和时移定理t211048t-1211(2)0(1)(1)t方法三：利用微分积分性质.49例3：求单边拉氏变换.50例4：周期信号的拉氏变换及其应用第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和51单边正弦、余弦信号的拉氏变换52衰减余弦的拉氏变换频移特性53矩形周期信号拉氏变换)2()()(1tututf--=)1(11)()(21STSSTeSeesFsF-----=-=)1(1)(21SeSsF--=第一周期的信号第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷技术求和54单对称方波周期对称方波乘衰减指数包络函数矩形脉冲衰减信号的拉氏变换55抽样信号的拉氏变换抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换56§5.3拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系因果乘衰减因子57从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号傅氏变换不存在，拉氏变换存在58从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号59从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用，要包含奇异函数项。K1=160从的单边拉氏变换求它的傅氏变换K2K1611.简单函数利用典型信号的变换对（查表）及性质例:化简的第一步是化成真分式§5.4拉普拉斯反变换例:62例:解：63例:642.部分分式展开含真分式1.D(s)=0的根是实根且无重根D(s)是s的多项式，可以进行因式分解65左右两边同乘以因子再令66例:解：6768(2).D(s)=0的根有复根且无重根的反变换可用配方法69掩盖法7071(3).D(s)=0的根有重根

可通过对应项系数相等或公式法得到72依次类推它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到如果D(s)=0有复重根，可以用类似于复单根的方法导出相应的反变换关系式73也可以不展开为复数形式，而用性质系数求得后，可用求得其反变换。由于74掩盖法例：求原函数75=2=1例：求原函数76另解：先不考虑频移已知77例:求下列函数的拉氏反变换时移性质解：78长除法79求拉氏反变换解：801-102t解：先不考虑平移，令1-102t1-102t818283

拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。§5.5拉普拉斯变换分析法84用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可以从两方面入手）

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。85输入信号x(t)为有始信号一、用拉普拉氏变换分析系统86方程两边取拉氏变换，考虑到时域微分性质...87...88整理成A0(s)A1(s)An-2(s)An-1(s)...89系统函数90复频域分析法解：例：求系统响应y(t)。已知9192拉氏变换分析的优点1.把微分方程转化成代数方程3.已知电路也可求解2.0-

到作单边拉氏变换，0-状态自动包含其中，可求零输入响应。93例：解：先列微分方程+-代入元件参数，并消去iL(t)及其导数可得方程94两边取拉氏变换U1zs(s)U1zi(s)95根据复频域电路模型，直接列写求解复频域响应的代数方程，反变换求得响应基尔霍夫定律：时域复频域二、用拉普拉氏变换分析电路96利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型

2.电路定理的推广

线性稳态电路分析的各种方法都适用。3.求响应的步骤

画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。97电阻元件的s域模型+-98电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：

+-内电压源极性与电感电流极性不一致：内电流源极性与电感电流极性一致99电容元件的s域模型电流源形式：+-内电源极性与电容两端极性一致100复频域电路模型:将原电路中已知电压源和电流源都变换为相应的拉氏变换；未知电压、电流也用其拉氏变换表示；各电路元件都用其复频域模型代替（初始状态变换为相应的电源）对该电路模型而言，用以分析计算正弦稳态电路的各种方法（如无源支路的串、并联、电压源与电流源的等效变换等等）都适用。101例：解：由KVL+-+-+-102零状态响应：全响应零输入响应：103例：给定系统的微分方程已知激励信号对应的响应为求系统的初始状态y(0-)，y'(0-)及系统的零输入响应，零状态响应解：对微分方程两边作拉氏变换104对全响应作拉氏变换，有105106解：作复频域电路模型对节点a,b列写节点方程ab例：已知vs(t)=(t),电路为零状态。求响应v2(t)107经整理并联立求解得108例：已知vs(t)=12V,L=1H,C=1F,R1=3,R2=2,R3=1。原电路已处于稳态，当t=0时，开关S闭合。求S闭合后R3两端电压的yzi(t)和yzs

(t)109a选定参考节点后，列写a点的节点方程

-+画复频域电路模型代入数据整理得110111§5.6系统函数系统函数—零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比112系统的复频域特征—系统函数

是的拉氏变换是系统输出和输入各自拉氏变换的比1131.定义响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比1142.H(s)的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口115条件：s1位于H(s)的收敛域内，即位于H(s)的最右极点的右边无时限复指数函数一、系统函数与零状态响应116（1）输入信号分成复指数信号之和LT物理意义：由线性，得（2）零状态响应是各复指数分量的响应之和117系统输入与输出的关系：时域：x(t)*h(t)=y(t)输入输出频域：X()H()=Y()复频域：X(s)H(s)=Y(s)118例：求零状态响应。已知H(s)=,激励为没有位于H(s)的收敛域内，响应不存在-20解：H(s)的收敛域如图1193.已知电路.零状态下的复频域电路模型2.已知h(t)RRLsLC1/sC4.已知零状态响应及其输入。1.已知微分方程5.已知系统模拟图。二、系统函数的求取120例：如图所示电路，求H(s)解：作零状态复频域模型+x(t)-+X(s)-121例：已知系统的微分方程为求该系统的系统函数解：零状态条件下，对微分方程两边取拉氏变换，得或:先求得冲激响应122+-解：作复频域模型，选参考节点，对节点1，2列方程-+102例：已知激励为i(t)，响应为u2(t)，求H(s)123已知子系统函数，求整个系统的系统函数1).基本联接方式a.级联X(s)Y(s)b.并联X(s)Y(s)三、系统框图化简124c.反馈X(s)Y(s)-负反馈其它化简规则如表4-3125例：求系统函数X(s)Y(s)-A解：分点A后移X(s)Y(s)-