2022-2023学年安徽省亳州市涡阳二中等校联考高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年安徽省亳州市涡阳二中等校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某数学兴趣小组有10名同学，在一次数学竞赛中成绩的名次由小到大排列分别是2，4，5，x，11，14，15，39，41，50．若该小组成绩名次的40%分位数是9.5，则x＝（）A．9 B．8 C．7 D．62．已知，则＝（）A． B． C． D．3．在△ABC中，“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．现有10名北京冬奥会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与花样滑冰项目的志愿者服务．则“恰有一名女志愿者”的概率是（）A． B． C． D．5．已知正实数m，n满足m+n＝1，则的最大值是（）A．2 B． C． D．6．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为（）A． B． C． D．7．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是（）A． B． C．3π D．8．在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。（多选）9．对于函数f（x）＝sinx+有如下四个判断，其中判断正确的是（）A．f（x）的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z} B．f（x）的最小值是2 C．π是f（x）的最小正周期 D．f（x）的图象关于直线x＝对称（多选）10．设z1，z2是复数，，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A．若，则z1＝z2＝0 B．若z1+z2＝z1﹣z2，则z1•z2＝0 C．若，则z1＝z2 D．若为实数，则z1为实数（多选）11．在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，则下列结论中正确的是（）A．BC∥平面SAD B．AC与SB所成的角为60° C．平面SDC⊥平面ABCD D．BD与平面SCD所成角为45°（多选）12．某校开展数理化竞赛，甲组有10位选手，其中数学5人，物理2人，化学3人；乙组也有10位选手，其中数学4人，物理3人，化学3人．先从甲组中随机选出一人放到乙组，分别以A1，A2和A3表示由甲组选出的是数学、物理和化学的事件；再从乙组中随机选出一人，以B表示由乙组选出的人是数学选手的事件，则下列结论中正确的是（）A． B．A1，A2，A3是两两互斥的事件 C．事件B与事件A1相互独立 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．计算的值是．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是4，P是棱BC的中点，过点A、P、C1的平面截该正方体得到的多边形为α，则α的面积是．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）+f（x+1）＝f（2），则f（2024）的值是．16．已知向量，的夹角为θ，||＝1，||＝2，且对任意的λ＜0，|﹣λ|的最小值是，则θ的大小为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，a∈R．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）令g（x）＝f（x）﹣（a+1）．若函数g（x）在[﹣1，1]上有两个不同的零点，求a的取值范围．18．设a是实数，复数（a﹣i）（2i+1）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限．（1）求a的取值范围；（2）若a取负整数，复数z满足2z﹣|z|＝a﹣3i3，求z．19．如图，在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，点E是边AB的中点，点D是边AC上一点，BD，CE相交于点P，且．（1）若，求实数λ的值；（2）若，证明：a2+3b2＝3c2．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是棱BB1上的动点，D是棱BC的中点．（1）证明：AD⊥C1E；（2）若四棱锥D﹣AA1B1B的体积是，且AA1＝2，求△ABC的面积．21．在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若E是边AB上的点，且BE＝CE＝3EA，求tanB的值．22．“以任意三角形的三条边为边，向外作三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆的圆心组成一个等边三角形”，这就是著名的拿破仑定理，在△ABC中，∠A＝120°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次是O1，O2，O3．已知△O1O2O3的面积是，建立如图所示的直角坐标系，请利用拿破仑定理、坐标法和解三角形等相关知识解决以下两个问题：（1）求AB+AC的值；（2）求△ABC周长的取值范围．

参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某数学兴趣小组有10名同学，在一次数学竞赛中成绩的名次由小到大排列分别是2，4，5，x，11，14，15，39，41，50．若该小组成绩名次的40%分位数是9.5，则x＝（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根据百分位数的定义，计算即可．解：40%×10＝4，故40%分位数是第4、第5个名次数的平均值，即9.5，因此，解得x＝8．故选：B．【点评】本题考查百分位数的应用，属于基础题．2．已知，则＝（）A． B． C． D．【分析】由已知函数解析式代入即可直接求解．解：因为，所以．故选：C．【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．3．在△ABC中，“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断．解：A＝B时，sin2A＝sin2B，充分性满足，当时，，必要性不满足，所以“A＝B”是“sin2A＝sin2B”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4．现有10名北京冬奥会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与花样滑冰项目的志愿者服务．则“恰有一名女志愿者”的概率是（）A． B． C． D．【分析】随机地接连抽取3名志愿者（每次取一个），恰有一名女志愿者”可分3类：仅第一次、仅第二次、仅第三次取到女志愿者，由此计算即可．解：设C1，C2，C3分别为仅第一次、仅第二次、仅第三次取到女志愿者的事件，且事件C1，C2，C3互斥，则；；；则“恰有一名女志愿者”的概率为．故选：C．【点评】本题考查互斥时间的概率公式，属于基础题．5．已知正实数m，n满足m+n＝1，则的最大值是（）A．2 B． C． D．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．解：由基本不等式可知，，即，当且仅当时等号成立．故选：B．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．6．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为（）A． B． C． D．【分析】Rt△ABM中求得AM，在△ACM中运用正弦定理求得CM，解Rt△CDM求得CD的值．解：在Rt△ABM中，AM＝，在△ACM中，∠CAM＝15°+15°＝30°，∠AMC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，所以∠ACM＝180°﹣30°﹣105°＝45°，由正弦定理，＝，故CM＝＝＝60，在Rt△CDM中，CD＝CMsin60°＝60×＝30（m）．所以估算黄鹤楼的高度CD为30m．故选：C．【点评】本题考查了三角形的正弦定理和解三角形的应用问题，也考查了方程思想和运算求解能力，是中档题．7．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是（）A． B． C．3π D．【分析】求解圆锥的底面半径与高，然后求解内切球的半径，即可求解球的体积解：设圆锥的底面半径是r，母线为l，圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则l＝2，2πr＝2π，r＝1．圆锥的高．如图：SO＝h，O′为内切球的球心，设圆锥内切球的半径是R，则，即，解得．因此圆锥内切球的体积是．故选：D．【点评】本题考查几何体内切球的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．8．在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】由题意利用正弦定理可得，进而可求A的值，可求，利用正弦定理以及正弦函数的性质即可求解的取值范围．解：因为，可得sinA＝，又，所以利用正弦定理可得，因为，，所以，而，所以，即B+C＝5A，因此6A＝π，可得，由和得到，，因此，，于是．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。（多选）9．对于函数f（x）＝sinx+有如下四个判断，其中判断正确的是（）A．f（x）的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z} B．f（x）的最小值是2 C．π是f（x）的最小正周期 D．f（x）的图象关于直线x＝对称【分析】直接利用函数的性质及函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．解：函数f（x）＝sinx+，对于A：定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确，对于B：当sinx＝﹣1时，函数的值为﹣2，故B错误；对于C：函数满足f（x+2π）＝f（x），故函数的最小正周期为2π，故C错误．对于D：函数f（x）满足f（π﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝对称，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，函数的对称性和定义域及值域的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）10．设z1，z2是复数，，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A．若，则z1＝z2＝0 B．若z1+z2＝z1﹣z2，则z1•z2＝0 C．若，则z1＝z2 D．若为实数，则z1为实数【分析】对于AC，结合特例，即可判断；对于B，结合复数的四则运算，即可求解；对于D，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．解：对A，取z1＝1，z2＝i，则，但z1≠0，z2≠0，故A错误；对B，z1+z2＝z1﹣z2，解得z2＝0，则z1⋅z2＝0，故B正确；对C，，则|z1|＝|z2|，显然|i|＝|﹣i|，但i≠﹣i，故C错误；对D，设z1＝a+bi，则，因此，b＝0，则z1为实数，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．（多选）11．在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，则下列结论中正确的是（）A．BC∥平面SAD B．AC与SB所成的角为60° C．平面SDC⊥平面ABCD D．BD与平面SCD所成角为45°【分析】选项A，由线面平行的判定定理，可判断；选项B，由AC⊥SD，AC⊥BD，可证AC⊥平面SBD，知AC⊥SB；选项C，由面面垂直的判定定理，可判断；选项D，由SD⊥BC，CD⊥BC，知BC⊥平面SCD，从而有∠BDC即为所求，得解．解：对于选项A，因为底面ABCD是正方形，所以BC∥AD，又BC⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，所以BC∥平面SAD，即选项A正确；对于选项B，因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD，又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为SD∩BD＝D，SD、BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，即AC与SB所成的角为90°，故选项B错误；对于选项C，因为SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SDC，所以平面SDC⊥平面ABCD，即选项C正确；对于选项D，因为SD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SD⊥BC，又CD⊥BC，且SD∩CD＝D，SD、CD⊂平面SCD，所以BC⊥平面SCD，所以∠BDC为直线BD与平面SCD所成角，而∠BDC＝45°，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查空间角的求法，空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理，线面、面面垂直的判定定理以及线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．（多选）12．某校开展数理化竞赛，甲组有10位选手，其中数学5人，物理2人，化学3人；乙组也有10位选手，其中数学4人，物理3人，化学3人．先从甲组中随机选出一人放到乙组，分别以A1，A2和A3表示由甲组选出的是数学、物理和化学的事件；再从乙组中随机选出一人，以B表示由乙组选出的人是数学选手的事件，则下列结论中正确的是（）A． B．A1，A2，A3是两两互斥的事件 C．事件B与事件A1相互独立 D．【分析】根据题意，由古典概型公式可得A正确，由互斥事件的定义可得B正确，由相互独立事件定义可得C错误，由全概率公式可得D正确，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，甲组有10位选手，其中数学5人，则，A正确；对于B，甲组选出的可以是数学、物理和化学，分成三类，且互斥，B正确；对于C，显然事件A1是否发生影响到事件B，事件B与事件A1不独立，C错误；对于D，由全概率公式，，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查全概率公式，涉及古典概型和互斥事件的定义，属于基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．计算的值是﹣．【分析】由二倍角公式化简即得．解：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题．14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是4，P是棱BC的中点，过点A、P、C1的平面截该正方体得到的多边形为α，则α的面积是8．【分析】根据题意，取A1D1的中点Q，连接AQ、AP、PC1、C1Q，分析可得四边形APC1Q就是截面多边形为α，进而可得截面α是菱形，求出其对角线的长，计算可得答案．解：根据题意，如图：取A1D1的中点Q，连接AQ、AP、PC1、C1Q，易得AP∥QC1，PC1∥AQ，则A、P、C1、Q四点共面，故平行四边形APC1Q就是截面多边形为α，又由AP＝PC1＝AQ＝QC1，则截面α是菱形，其两条对角线长分别是和，故截面α的面积是．故答案为：8．【点评】本题考查棱柱的结构特征，涉及平面截棱柱所得截面的问题，属于基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）+f（x+1）＝f（2），则f（2024）的值是0．【分析】根据题意，先分析函数的周期，利用特殊值求出f（0）的值，进而分析可得答案．解：根据题意，由于f（x+3）+f（x+1）＝f（2）①，变形可得f（x+1）+f（x﹣1）＝f（2）②，①﹣②可得：f（x+3）＝f（x﹣1），即f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数；在f（x+3）+f（x+1）＝f（2）中，令x＝﹣1，则f（2）+f（0）＝f（2），所以f（0）＝0，则f（2024）＝f（0+506×4）＝f（0）＝0，即f（2024）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．16．已知向量，的夹角为θ，||＝1，||＝2，且对任意的λ＜0，|﹣λ|的最小值是，则θ的大小为120°．【分析】先对向量的模长平方得到，再根据运算即可得到，进一步计算即可．解：已知向量，的夹角为θ，||＝1，||＝2，所以＝1﹣4λcosθ+4λ²＝＝＝，又，所以，即．因为θ∈[0，π]，所以，θ＝60°或120°．验证知，θ＝120°，故答案为：120°．【点评】本题主要考查向量的模长公式以及数量积运算，属于中档题．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，a∈R．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）令g（x）＝f（x）﹣（a+1）．若函数g（x）在[﹣1，1]上有两个不同的零点，求a的取值范围．【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即，变形分析可得答案；（2）根据题意，令g（x）＝0分析可得x1＝log3a，x2＝0，分析可得﹣1≤log3a≤1且log3a≠0，解可得答案．解：（1）根据题意，函数为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即，变形可得：（a﹣1）（9x﹣1）＝0，故a＝1，（2）根据题意，若g（x）＝f（x）﹣（a+1）＝0，则有，变形可得9x﹣（a+1）⋅3x+a＝0，则有（3x﹣a）⋅（3x﹣1）＝0，解可得：x1＝log3a，x2＝0．若函数g（x）在[﹣1，1]上有两个不同的零点，而0∈[﹣1，1]，必有﹣1≤log3a≤1且log3a≠0，解得，且a≠1；故a的取值范围是．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及对数的运算，属于基础题．18．设a是实数，复数（a﹣i）（2i+1）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限．（1）求a的取值范围；（2）若a取负整数，复数z满足2z﹣|z|＝a﹣3i3，求z．【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；（2）根据已知条件，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解．解：（1）（a﹣i）（2i+1）＝a+2+（2a﹣1）i，则a+2＞0，且2a﹣1＜0，解得．故a的取值范围是；（2）因为，且a取负整数，所以a＝﹣1，设z＝b+ci，b，c∈R．则2z﹣|z|＝a﹣2i3，即，所以，解得b＝0，c＝1，故z＝i．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．19．如图，在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，点E是边AB的中点，点D是边AC上一点，BD，CE相交于点P，且．（1）若，求实数λ的值；（2）若，证明：a2+3b2＝3c2．【分析】（1）由平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求得；（2）由平面向量垂直的性质和余弦定理化简即可．解：（1）因为B，P，D三点共线，所以存在实数m，使，与条件比较，得到且，故；证明：（2）∵，＝，∴＝＝＝＝＝0，即，化简整理得：a2+3b2＝3c2．【点评】本题考查平面向量的线性运算，夹角与数量积，余弦定理的综合，属于中档题．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是棱BB1上的动点，D是棱BC的中点．（1）证明：AD⊥C1E；（2）若四棱锥D﹣AA1B1B的体积是，且AA1＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）根据AA1⊥平面ABC，得出CC1⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCC1B1，再证明AD⊥BC，得出AD⊥平面CBB1C1，即可证明AD⊥C1E．（2）根据四棱锥D﹣AA1B1B的体积为AA1•AB•DF，求出AD•DF的值，从而求出△ABC的面积．【解答】（1）证明：因为AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1，所以CC1⊥平面ABC，又CC1⊂平面BCC1B1，所以平面ABC⊥平面BCC1B1，因为棱BC的中点为D，且△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC，又AD⊂平面ABC，平面ABC⋂平面CBB1C1＝BC，所以AD⊥平面CBB1C1，又因为C1E⊂面CBB1C1，所以AD⊥C1E．（2）解：过点