第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(少)课件

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较.7/22/20237.1线性相位FIRDF的条件和特点一.引言为何要设计FIR滤波器？(1)语音处理，图象处理等应用要求线性相位，任意幅度。FIRDF具有严格的线性相位，同时可具有任意幅度特性。(2)FIRDF单位抽样响应是有限长的，故滤波器是稳定的。只要经过延时，任何非因果有限长序列都能变成因果。(3)FIR可以用FFT算法来实现过滤信号。IIR数字滤波器缺点：优点：相位非线性能借助模拟滤波器已有成果设计.7/22/2023.7/22/2023.7/22/2023二.线性相位的定义长度为N的h(n),传输函数为：Hg(ω):幅度特性,θ(ω):相位特性。线性相位:传输函数表达式中的θ(ω)是ω的线性函数

第二类线性相位： 第一类线性相位：群时延:是滤波器平均延迟的一个度量第一、二类线性相位的群时延相同，为τ.7/22/2023三.线性相位的条件第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称。第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称。四.线性相位条件证明(1)第一类线性相位的条件证明若，则证明：.7/22/2023所以H(z)表示为：将z=ejω代入上式，得到：.7/22/2023由上式可知：群时延：.7/22/2023(2)第二类线性相位的条件证明证明：若，则所以H(z)表示为：.7/22/2023将z=ejω代入上式，得到：由上式可知：群时延：.7/22/2023五.线性相位FIR滤波器的幅度特性由于h(n)的长度N取奇数还是偶数，对Hg(ω)的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：

（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称，

N=奇数（2）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称，N

=偶数（3）h(n)=-h(N-1-n)

，即h(n)为奇对称，

N

=奇数（4）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)为奇对称，

N

=偶数.7/22/2023（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称，

N=奇数h(n)幅度函数:

上式中：h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，可得：.7/22/2023看出：cos(nω)对于w=0,,2皆为偶对称，所以幅度函数Hg(ω)也对ω

=0,,2皆为偶对称。且H(0),H(),H(2)都可不为零(只要h((N-1)/2)不为零)。所以ω从02范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）.7/22/2023（2）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称，N

=偶数h(n)幅度函数:上式中：h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，可得：.7/22/2023看出：cos[(n-1/2)ω)]在ω

=时为零，且对ω

=奇对称，所以幅度函数Hg(ω)也对ω

=

奇对称，且在ω

=处有一零点，使Hg()=0

。用n代替m,有：(所以这种情况不能用于设计ω=时，Hg(ω)0的滤波器。如：高通、带阻).7/22/2023.7/22/2023（3）h(n)=-h(N-1-n)

，即h(n)为奇对称，

N

=奇数h(n)幅度函数:上式中，利用h(n)和sin(*)的奇对称性合并相同的项得：负负得正.7/22/2023用n代替m,有：

看出：sin(nw)对于w=0,,2处皆为0，即Hg(w)在w=0,,2处必为零。也即H(z)在z=1处都为零。sin(nw)对w=0,,2呈奇对称形式。(不能用于

ω=0,时，Hg(ω)0的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。).7/22/2023（4）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)为奇对称，

N

=偶数h(n)幅度函数:上式中，利用h(n)和sin(*)的奇对称性合并相同的项得：用n代替m,有：.7/22/2023

看出：sin[(n-1/2)ω)]对于w=0,2处皆为0，即Hg(w)在w=0,2处必为零。也即H(z)在z=1处有一个零点,且对w=0,

2呈奇对称，对w=偶对称(不能用于

ω=0时，Hg(ω)0的滤波器设计，故不能用作低通和带阻滤波器的设计。).7/22/2023第一种情况：h偶、N奇，Hg(ω)关于0，，2偶对称。四种滤波器都可设计(cos(nω))。第二种情况：h偶、N偶，Hg(ω)关于奇对称。可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻(cos[(n-1/2)ω)])。第三种情况：h奇、N奇，Hg(ω)关于0，，2奇对称。只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计(sin(nw))。第四种情况：h奇、N偶，Hg(ω)关于0，2奇对称，关于偶对称。可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻(sin[(n-1/2)ω)])。六.（总结）线性相位FIR滤波器的幅度特性.7/22/2023.7/22/2023四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。.7/22/2023七.线性相位FIR滤波器零点分布特点1.若z=zi是H(z)的零点,则z=zi-1也是其零点2.h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对得：由??h(n)={22,20,33,6,6,33,-20,22}.7/22/2023八.线性相位FIR滤波器网络结构设为N为偶数，则滤波器的系统函数为：要想确定滤波器网络结构，首先要得到系统的差分方程或系统函数。.7/22/2023N为偶数时系统函数：由前述可得：第一类线性相位情况下第二类线性相位情况下N为奇数时系统函数：N为偶数时系统函数：N为奇数时系统函数：根据系统函数可画出如下的滤波器网络结构：.7/22/2023图7.1.2第一类线性相位网络结构.7/22/2023图7.1.3第二类线性相位网络结构与FIR滤波器的直接结构相比，利用线性相位的对称特性可节省一半左右的计算量！.7/22/2023第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较.7/22/20237.2利用窗函数法设计FIR滤波器1.由理想的频率响应,得到理想的；2.由得到因果、有限长的单位抽样响应;3.对加窗得到较好的频率响应。理想频率响应一、思路与方法：表达式及特点？.7/22/2023则其脉冲响应：无限长非因果偶对称解决方法：截短，移位保留即：隐含着使用了窗函数理想低通的传输函数为：特点：.7/22/2023于是：注意：是因果的，且是线性相位的，即？即事先给一线性相位为了省去每次的移位，可以令：

在通带内这样：.7/22/2023于是：使用了矩形窗上式的的表达式及设计的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个 ，只要能积分得到，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤波器。为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称：即：.7/22/2023图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗窗函数法设计FIR滤波器图示.7/22/2023补充几种常用的理想滤波器高通：令：相当于用一个截止频率在处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在处的低通滤波器。.7/22/2023令：相当于用一个截止频率在处的低通滤波器减去一个截止频率在处的低通滤波器。带通：.7/22/2023二、FIR低通滤波器设计步骤①已知滤波器的阶数N，和理想低通的ωc②

利用公式求移位值α③利用公式求理想低通的单位脉冲响应hd(n)④利用公式截短hd(n)得可实现滤波器响应h(n)例7.2.1用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。h(n)={0,0.0468,0.1,0.1514,0.1871,1,0.1871,0.1514,0.1,0.0468,0}解：.7/22/2023三、关于对截短的讨论（幅度特性）称为用矩形窗对hd(n)进行处理h(n)的DTFT为：

为矩形窗的幅度特性。其中：将理想低通滤波器的频率响应表示为：.7/22/2023则理想低通的幅度特性：则的设计低通的幅度特性：可见：设计的滤波器的幅度特性是矩形窗函数的幅度特性与理想低通滤波器的幅度特性的卷积（过程见下图）.7/22/2023理想低通幅度特性窗函数幅度特性.7/22/2023加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了以下两点影响：①

使理想频率特性不连续点ω=ωc处，形成了一个过渡带，过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应RN(ω)的主瓣宽度△ω=4π/N②在截止频率ωc的两边ω=ωc±2π/N处（即过渡带的两边），H(ω)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于RN(ω)波动的快慢。以上两点就是对hd(n)截断后，在频域的反映，称为吉布斯效应，其直接影响滤波器的性能。.7/22/2023若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为：随着x加大(N加大)，函数曲线波动的频率加快(因为过零点间隔变小)，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣幅度相对值不变。

减少吉布斯效应影响的方法：1、过渡带宽△ω=4π/N。由此增加窗长N，能减小过渡带宽2、增加窗长N，在减小过渡带宽同时，能改善振荡的情况吗？分析：因此，减少带内波动和加大阻带的衰减只能从窗形入手。.7/22/2023四、窗函数介绍窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的。数据、频谱、自相关函数等都需要截短。对窗函数提出那几方面的要求？对加窗的理解，关键是要搞清楚使用窗函数后所产生的影响：一个域相乘，在另一个域是卷积。窗函数的要求：(1)窗谱主瓣尽可能的窄，以获得较陡的过渡带。(2)尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中在主瓣，这样使肩峰和波纹减小，可以增大阻带的衰减。.7/22/2023（1）矩形窗（2）三角形窗（Bartlett).7/22/2023不同窗函数的波形以及幅度谱图.7/22/2023当N>>1时，N-1≈N，（3）汉宁(Hanning)窗——升余弦窗.7/22/2023.7/22/2023(7.2.11)当N>>1时，可近似表示为（4）哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗.7/22/2023.7/22/2023(7.2.13)其频域函数为：其幅度函数为：(7.2.14)（5）布莱克曼(Blackman)窗.7/22/2023.7/22/2023I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用以下级数计算：（6）凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)一般I0(x)取15~25项，便可以满足精度要求。α参数可以控制窗的形状。一般α加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4<α<9。当α=5.44时，窗函数接近哈明窗。α=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为：.7/22/2023.7/22/2023六种窗函数的基本参数.7/22/2023窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-574π/N8π/N8π/N8π/N12π/N1.8π/N4.2π/N6.2π/N6.6π/N11π/N10π/N-21-25-44-53-74-80.7/22/2023五、用窗函数设计FIR滤波器的步骤①利用，由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲响应。若得不到封闭式或不能用上式计算时，可对在到间等间隔采样M，用下式代替上式的积分当M足够大时，就可保证能足够好的逼近按照频率采样定理，与的关系为：

.7/22/2023②按允许的过渡带宽度△ω及阻带衰减，选择合适的窗函数，并估计节数N：其中A由窗函数的类型决定。③确定延时值（即滤波器的对称中心）④

求⑤必要时验算频率响应：.7/22/2023采用窗函数法，设计简单，方便，也实用。但要求用计算机，