2021-2022学年广东省湛江市美术中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年广东省湛江市美术中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=lnC．f（x）=﹣|x+1| D．f（x）=参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项．【解答】解：A．f（x）=sinx在[﹣1，1]上单调递增；B．f（x）=，解得该函数的定义域为[﹣2，2]；又f′（x）=；∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数；又f（﹣x）==﹣f（x）；∴f（x）是奇函数；∴该选项正确；C．f（x）=﹣|x+1|，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0；而这里f（0）=﹣1；∴该函数不是奇函数；D.，f（﹣1）=；∴该函数在[﹣1，1]上不是减函数．故选B．【点评】考查正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，以及奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0，减函数的定义．2.某农科所研制成功一种产量较高的农作物种子，并对该作物种子在相同条件下发芽与否进行了试验，试验结果如下表，则其发芽的概率大约为

（

）种子粒数251070130310700150020003000发芽粒数24960116282639133918062715A．1

B．0.7

C．0.8

D．0.9参考答案：D3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：A4.设

则的值为（

）A.10

B.11

C.12

D.13参考答案：B5.设集合，，，则等于A．

B．

C．

D．

参考答案：B略6.定义域为R的偶函数满足，有，且当时，．若函数至少有三个零点，则a的取值范围是(A)(0，)

(B)(0，)

(C)(0，)

(D)(0，)参考答案：B略7.命题，则为（

） A.

B. C.

D.参考答案：C8.（08年大连24中）等差数列{an}中，a5+a7=16，a3=4，则a9=

（

）

A．8

B．12

C．24

D．25参考答案：答案:B9.若0<a<b<1，则下列不等式成立的是

A.logb<ab<logba

B.

logb<logba<ab

C.logba<logb<ab

D.

ab<logb<logba

参考答案：A10.已知实数满足则的最大值为

(

)

A.17

B.15

C.9

D.5参考答案：A【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/简单的线性规划.【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其中直线将其分为的两部分，联立得,联立得,在上，直线在点有最大值，此时，在上，直线在点有最大值，此时，所以的最大值为17，故答案为A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若非零向量，满足||＝|＋|＝1，与夹角为120°，则|

|=

．参考答案：112.函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为x=．参考答案：考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的对称轴方程为x=，k∈Z，从而可求离坐标原点最近的一条对称轴的方程．解答：解：∵函数的对称轴方程为x=，k∈Z∴当k=﹣1时，x=是离坐标原点最近的一条对称轴的方程．故答案为：x=．点评：本题主要考察了正弦函数的图象与性质，属于基础题．13.已知，则=

。参考答案：-314.若tanα=，则tan（α+）=

．参考答案：3【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案为：3．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．15.过点且与曲线相切的直线方程是（

）（A）

（B）

（C）（D）或

参考答案：D设点是曲线上的任意一点，则有。导数则切线斜率，所以切线方程为，即，整理得，将点代入得，即，即，整理得，解得或，代入切线方程得切线为或，选D.16.已知函数f（x）=|cosx|?sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；

②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；

④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是

．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π﹣x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（﹣π﹣x）后，得到与﹣f（x）的关系可判断⑤．【解答】解：函数f（x）=|cosx|?sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|?sin（﹣x）=﹣|cosx|?sinx=﹣f（x），则f（x）是奇函数，①正确；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|?sin（π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x），∴f（x）的一条对称轴为x=，②正确；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|?sin（π+x）=|﹣cosx|?（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，④正确；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|?sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|?sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，⑤不正确；故答案为：①②④．17.已知半径为R的球内接一个正四面体ABCD，平面BCD将球面分割成二部分，在异于球心一侧的球面上的点P到平成BCD的最大距离为

。参考答案：答案:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)如图，直三棱柱，，AA′=1，点分别为和的中点。

(Ⅰ)证明：∥平面;

(Ⅱ)求三棱锥的体积。参考答案：（1）（法一）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面

平面，因此

……6分（法二）取的中点为P，连结MP，NP，∵分别为和的中点，

∴MP∥,NP∥,∴MP∥面,NP∥面,

∵,

∴面MPN∥面，∵MN面，

∴MN∥面.(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,∴⊥⊥面NBC，

∵==1,

∴.(解法2)19.设函数的图象与直线相切于点，且点的横坐标为．(I)求，的值；(Ⅱ)求函数的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．参考答案：解析：（Ⅰ）………3分由于的图象与直线相切于点，点的横坐标为，则．所以

………7分即解得，．………8分

（Ⅱ）由，，得，定义域为，令，解得或；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

令，解得．故函数在区间上分别单调递增，在区间

上单调递减．………14分20.直四棱柱的底面是菱形，，其侧面展开图是边长为的正方形.、分别是侧棱、上的动点，．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)在棱上，且，若∥平面，求.参考答案：⑴连接，因为是菱形，所以，

因为是直四棱柱，，，所以，因为，所以，

因为，所以……6分．

⑵连AC交BD与O，因为平面，所以EF//PO取中点，则，所以，所以为平行四边形，则，从而…12分21.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题:（Ⅰ）求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元．且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商购进6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．参考答案：（Ⅰ）一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率为．（Ⅱ）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，四辆非事故车设为，从六辆车中随机挑选两辆车共有，，，，，，，，，，，，，，总共15种情况，其中两辆车恰好有一辆事故车共有，，，，，，，，总共8种情况．所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为．②由统计数据可知，该销售量一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为元．22.如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，∠BAD=45°．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：AA1∥平面BC1D．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知条件利用余弦定理得BD2=AD2，从而利用勾股定理得AD⊥BD，进而得到BD⊥平面ADD1A1，由此能证明BD⊥AA1．（2）连结AC、A1C1，设AC∩BD=E，连结EC1，由棱台的定义结合已知条件推导出四边形A1C1EA是平行四边形，由此能证明AA1∥平面BC1D．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∠BAD=45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcos45°=AD2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD