2021年湖南省株洲市峦山中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年湖南省株洲市峦山中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．2.集合=(

）A．

B．{1}

C．{0,1,2}

D．{-1,0,1,2}参考答案：C3.若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x),f(2－x)=f(x),且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H(x)=|xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为(

)

A.5

B.4

C.3

D.2参考答案：B4.若函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】令，然后进行分离常数，利用数形结合的数学思想方法画出图像，结合图像求得的取值范围.【详解】，故不是的零点.当时，令得.令，，设，则，所以在上递增，而，所以当时，，即；当时，，即.即在上递减，在上递增，所以当时，.结合二次函数的图像与性质，画出的图像如下图所示，由图可知，当或时，与的图像有两个交点，也即恰有两个零点.故选：C.【点睛】本小题主要考查根据零点个数求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性、和最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5.（5分）（2013?兰州一模）在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所做弦的长度超过的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C略6.复数z满足，则A. B. C. D.参考答案：A7.若复数（1+ai）（1－2i）是实数（i是虚数单位，），则a的值是（

）A．2 B． C．-2 D．-参考答案：A8.集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}，那么A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，运用结合交集的运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．9.命题“?x＞0，≥0”的否定是（）A．?x≤0，＜0 B．?x＞0，＜0 C．?x＞0，0≤x＜2 D．?x＞0，0＜x＜2参考答案：C【考点】2J：命题的否定．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．【解答】解：命题“?x＞0，≥0”的否定是?x＞0，0≤x＜2故选：C【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．10.设下列不等关系不恒成立的是 （

） C

若，则 参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；

②函数有2个零点；③的解集为；

④，都有．其中所有正确的命题序号是

．参考答案：③④12.已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为．参考答案：16【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．故答案为：16．13.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为______.参考答案：14.（﹣2）7的展开式中，x2的系数是．参考答案：﹣280【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为2求得r值，则x2的系数可求．【解答】解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．由，得r=3．∴x2的系数是．故答案为：﹣280．【点评】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础的计算题．15.展开式的常数项为__________.参考答案：【分析】写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项公式求得结果.【详解】展开式的通项公式为：当，即时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理中的求解指定项系数的问题，属于基础题.16.不等式的解集是___________.参考答案：17.对任意的实数b，直线y＝－x＋b都不是曲线y＝x3－3ax的切线，则实数的取值范围是________．参考答案：(－∞,) 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知向量记.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.

参考答案：19.求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.参考答案：解析：焦点坐标为，设弦AB、CD过焦点F，且．由图得知：，故．所求面积为：．20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）的影响，对近六年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，3，4，5，6）的数据作了初步统计，得到如下数据：年份201120122013201420152016年宣传费x（万元）384858687888年销售量y（吨）16.818.820.722.42425.5经电脑模拟发现年宣传费x（单位：万元）与年销售量y（单位：吨）之间近似满足关系式：y=a?xb（a，b＞G），即lny=b?lnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：（lnxi?lnyi）（lnxi）（lnyi）（lnxi）275.324.618.3101.4（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（Ⅱ）规定当产品的年销售量y（单位：吨）与年宣传费x（单位：万元）的比值在区间（，）内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．（其中e为自然对数的底数，e≈2.7183）附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=β?u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣?．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）对y=a?bx，（a＞0，b＞0）两边取对数，得lny=b?lnx+lna，令μi=lnxi，vi=lnyi，得v=b?μ+lna，利用最小二乘法求出得a=e，由此能求出y关于x的回归方程．（Ⅱ）由题意得到ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）对y=a?bx，（a＞0，b＞0）两边取对数，得lny=b?lnx+lna，令μi=lnxi，vi=lnyi，得v=b?μ+lna，由题所给的数据得：，==3.05，=75.3，，∴=，，=3.05﹣=1，得a=e，∴y关于x的回归方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）中所求回归方程，得，则x∈（49，81），∴x=58，68，78，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0123PE（ξ）=0×=．【点评】本题考查回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想，是中档题．21.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），即可解得：a，b．即可得出普通方程．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）解得R可得圆C2的方程为：ρ=2cosθ，即可化为直角坐标方程．（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，代入+即可得出．【解答】解：（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），得：解得：，∴曲线C1的方程为：（φ为参数），即：．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）代入得：=2R×，∴R=1∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ即：（x﹣1）2+y2=1．（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，∴+=（）+（）=．22.若无穷数列{an}满足：是正实数，当时，，则称{an}是“Y—数列”.（1）若{an}是“Y—数列”且，写出的所有可能值；（2）设{an}是“Y—数列”，证明：{an}是等差数列当且仅当{an}单调递减；{an}是等比数列当且仅当{an}单调递增；（3）若{an}是“Y—数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.参考答案：（1）-2，0，2，8（2）证明见解析（3）当时，有32种；当时，有31种【分析】(1)根据“—数列”的定义逐项分析即可.(2)分别根据等差等比数列的定义,分别证明对应的必要性和充分性即可.(3)分别证明是数列中的最大项与当是奇数时,是的奇数倍；当是偶数时,是的偶数倍再根据周期的性质证明即可.【详解】（1）解：由题,所有可能的情况有,,.故的所有可能值为-2,0,2,8.（2）证明：因为,所以或.当是等差数列时,假设,则,此时,,而,矛盾！所以.于是公差,所以单调递减.当单调递减时,对任意,,又,所以,从而是等差数列.当是等比数列时,,所以,于是公比.又,所以单调递增.当单调递增时,对任意,.又,所以,即.因为,所以是等比数列.（3）解：先证明是数列中的最大项.事实上,如果是第一个大于的项的脚标,则由知,是的倍数.假设,,…,都是的倍数,则由知,也是的倍数.所以由归纳法知,对任意,都是的倍数,但不是的倍数,这与是周期数列矛盾！所以是数列中的最大项,从而当时,.再证明当是奇数时,是的奇数倍；当是偶数时,是的偶数倍.事实上,当时结论成立.假设时成立,当时,由知,结论也成立.设的最小正周期是,