2021-2022学年浙江省杭州市风帆中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年浙江省杭州市风帆中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：B2.若把函数的图像向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是 （

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知，那么是的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】因为，所以或，所以是的必要不充分条件，选A.参考答案：因为，所以或，所以是的必要不充分条件，选A.【答案】A4.

函数的图象大致是(

）参考答案：C5.已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为（）A. B. C. D.不存在参考答案：C【分析】利用等比数列的通项公式及条件，求出m，n的关系式，结合均值定理可得.【详解】设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为aman=16a12，所以=16a12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以.当且仅当时取等号，此时，解得，因为mn取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，故选：C．

6.已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意解出点A，B的坐标，从而求出＜1，从而求出该椭圆离心率．【解答】解：由题意，+=1，从而可得，y=；故A（c，），B（c，﹣）；故由△ABF1是锐角三角形知，＜1；故＜1；即e2+2e﹣1＞0；故﹣1＜e＜1；故选C．7.已知函数，若有3个零点，则k的取值范围为(

)A.(，0) B.(，0) C.(0，) D.(0，)参考答案：C【分析】由函数在R上有3个零点，当时，令，可得和有两个交点，当时，和有一个交点，求得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，要使得函数在R上有3个零点，当时，令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，又由，令，可得，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以当时，，若直线和有两个交点，则，当时，和有一个交点，则，综上可得，实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，构造新函数求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.8.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），若离心率（e≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（）①在黄金椭圆C中，a、b、c成等比数列；②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E、B，则∠F1EB=90°；③在黄金椭圆C中，以A（﹣a，0）、B（a，0）、D（0，﹣b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】对于①，由e=，可得e2+e﹣1=0，运用离心率公式和等比数列的中项的性质，即可判断；对于②，求出即有=（﹣c，﹣b），=（a，﹣b），运用向量的数量积的坐标表示，即可判断；对于③，设内切圆的半径为r，由四边形ADEB的面积可为四个三角形的面积，化简整理计算可得半径r=c，即可判断．【解答】解：对于①，由e=，可得e2+e﹣1=0，由e=，a2﹣c2=b2，可得c2+ac﹣a2=0，即ac=b2，则a，b，c成等比数列，故①正确；对于②，在黄金椭圆C中，上顶点、右顶点分别为E（0，b）、B（a，0），即有=（﹣c，﹣b），=（a，﹣b），由①即有?=﹣ac+b2=0，则∠F1EB=90°，故②正确；对于③，设内切圆的半径为r，由四边形ADEB的面积可为四个三角形的面积，可得?2a?2b=4?r?，解得r=====c，则内切圆过焦点，故③正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用离心率的公式，考查数量积的运用判断直角，同时考查四边形的内切圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，a、b、c所对的角依次为A、B、C．则sinB+cosB的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】由△ABC的三边长a、b、c成等比数列，可得b2=ac．可得cosB=，利用基本不等式的性质可得B的取值范围，进而可求B+的范围，利用两角和的正弦函数公式化简可得sinB+cosB=sin（B+），利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵△ABC的三边长a、b、c成等比数列，∴b2=ac．∴cosB=≥=，当且仅当a=c时取等号．∴B∈（0，]．∴可得：B+∈（，]，∴sinB+cosB=sin（B+）∈（1，]，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，正弦函数的图象和性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：其中正确结论的序号是

①>

；②<③>；

④<.A．①② B．①③C．②④ D．②③参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则______．参考答案：【分析】利用分段函数的解析式先求出，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值．12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，点E为BC的中点，如果DF=2FC，那么的值是．参考答案：9【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系，利用向量的坐标形式计算即可．利用向量的坐标形式计算即可．【解答】9；解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，∵AB=3，AD=3，∴A（0，0），B（3，0），C（3，3），D（0，3），∵点E为BC的中点，∴E（3，），∵点F在边CD上，且DF=2FC，∴F（2，3），∴=（2，3），=（0，），∴=2×0+3×=9，故答案为：9．13.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x+y=______.参考答案：5【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为

.参考答案：

【知识点】参数方程化成普通方程．N3解析：∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴，，所以1=sin2θ+cos2θ=，化简得x2+（y﹣2）2=4，故C（0，2），所以OC==2，故答案为：2．【思路点拨】将圆C的参数方程化成普通方程后即得圆心坐标，从而可得结论．15.已知函数．若存在实数，，使得的解集恰为，则的取值范围是

．参考答案：16.已知=(x,2),=(2,)，若(－)⊥，则|+2|=___________.参考答案：由得，由=（5,5）得.17.函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为，则=______参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，为的中点.(Ⅰ)求证：;(Ⅱ)在线段是是否存在点，使得//平面，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.参考答案：略19.已知函数．（1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：考点：实际问题中导数的意义；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（1）因为，x＞0，x＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．（2）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数k的取值范围．解答： 解：（1）因为，x＞0，则，当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．因为函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，所以解得．（2）不等式，即为，记，所以=令h（x）=x﹣lnx，则，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2．点评：本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．20.（本小题满分13分）某学校实验室有浓度为和的两种溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为和的两种溶液各分别装入两个容积都为的锥形瓶中，先从瓶中取出溶液放入瓶中，充分混合后，再从瓶中取出溶液放入瓶中，再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第次操作后，瓶中溶液浓度为，瓶中溶液浓度为.（1）请计算，并判定数列是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；（2）若要使得两个瓶中的溶液浓度之差小于，则至少要经过几次？参考答案：（1）…………………3分

21.如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f()＝f(x)－f(y)；(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．参考答案：(1)证明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)，∴f()＝f(x)－f(y)．(2)∵f(3)＝1，f(a)>f(a－1)＋2，∴f(a)－f(a－1)>2.∴f()>2＝f(