专题05指数与指数函数（原卷版）

专题05指数与指数函数目录题型一：指数的运算 3题型二：指数函数的图像 4题型三：指数比较大小 6题型四：指数函数与不等式 7题型五：指数函数性质综合运用 8知识点总结知识点总结根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；(3)()n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝有理数指数幂概念正分数指数幂：a＝a>0，m，n∈N*，n>1负分数指数幂：a＝＝0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义运算性质ar·as＝ar＋sa>0，b>0，r，s∈Q(ar)s＝ars(ab)r＝arbr指数函数的概念、图象与性质y＝ax(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，＋∞)单调性递减递增函数变化规律当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1【常用结论与知识拓展】1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．例题精讲例题精讲指数的运算【要点讲解】(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是字母,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来计算.A．9 B． C．3 D．的最小值为A． B． C． D．化简，为正数）的结果是A． B． C． D．指数函数的图像【要点讲解】(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除;(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论;(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解;(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是A． B． C． D．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，已知，，则函数的图象必定不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限若函数且的图象经过第一、二、三象限，则A． B． C． D．指数比较大小【要点讲解】(1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用单调性比较大小

(2)不能化成同底数幂的,一般引入“1”等中间量比较大小

已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．设函数，且，则下列关系式不成立的是A． B． C． D．已知函数，实数，满足，则A． B．，，使得 C． D．若，则A． B． C． D．已知函数，且函数的图像与的图像关于直线对称，函数的图像与的图像关于轴对称，设．则A． B． C． D．指数函数与不等式【要点讲解】先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解

已知偶函数，则满足的实数的取值范围是A． B． C． D．，，已知函数，若时，则实数的取值范围为A． B． C． D．已知指数函数且，过点．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．指数函数性质综合运用【要点讲解】利用好同增异减去进行分析题目若函数在上是减函数，则实数的取值范围是A． B．， C．，， D．，求函数在区间上的值域．已知函数为常数），若在区间，上是增函数，则的取值范围是．已知函数．（1）当时，求的值；（2）当，时，求的最大值和最小值．课后课后练习一．选择题（共6小题）1．指数函数与的图象如图所示，则A．， B．， C．， D．，【解答】解：指数函数，当时函数是增函数，时函数是减函数，有函数的图象可知：，．故选：．2．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【解答】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，，，，由，故选：．3．已知，则A． B． C． D．【解答】解：对选项，因为在有增有减，所以，大小无法判断，故错误；对选项，因为在为增函数，若，则，故错误；对选项，因为在为增函数，若，则，故正确；对选项，因为在为减函数，若，则，故错误．故选：．4．下列结论中，正确的是A．函数是指数函数 B．函数的值域是， C．若，则 D．函数的图像必过定点【解答】解：．形如的函数是指数函数，不是指数函数，错误；．，，，函数的值域是，，正确；时，由得出，错误；．的图象过定点，错误．故选：．5．设，，若函数在处的函数值大于函数在处的函数值，函数在处的函数值大于函数在处的函数值，则下列关系式中一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：函数的大致图象如图所示，因为且函数在上单调递减，在上单调递增，因为时，（c）（a）（b），所以，，故，，所以（c）（a），所以，错误，正确；因为在上单调递增且，所以，错误．故选：．6．若，则A． B． C． D．【解答】解：由，得，若，则，由，得，与矛盾，故错误；若，则，由，得成立，此时，故错误；取，由，得，又单调递增，且，，此时，故错误；下面证明，要证，即证，若，由知，则，可得成立；若，由知，则，可得成立．综上可得，．故选：．二．多选题（共2小题）7．函数且的图象一定不经过的点A． B． C． D．【解答】解：令可得，不符合题意，符合题意；令可得（3），则显然不符合且；令得（2），故，即可能经过．故选：．8．已知函数的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是A． B． C． D．【解答】解：函数的图象恒过点，当时，，故选项正确；当时，，故选项正确；当时，，故选项正确；当时，，故选项错误．故选：．三．填空题（共4小题）9．当时，．【解答】解：，，则．故答案为：．10．若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是，，．【解答】解：若时，指数函数的值总大于1，则，解得或．则实数的取值范围是，，．故答案为：，，．11．函数且的图象恒过定点，则点的坐标为．【解答】解：对于函数且，令，求得，，可得它的图象恒过定点，故答案为：．12．在，，，这4个数中，最小的是，最大的是．【解答】解：由于，故，，故．故最小的是，最大的是．故答案为：；．四．解答题（共3小题）13．化简求值：（1）；（2）若，求，的值．【解答】解：（1）原式；（2），，，，，，．14．已知函数．（1）求函数在区间，上的最大值和最小值；（2）若方程在区间内有解，求实数的取值范围．【解答】解：（1）函数在区间，上为增函数，最大值为（1），的最小值为．（2）方程在区间内有解即函数与函数在区间内有交点．函数在区间上为增函数，