河南省信阳市城关镇群力中学高二数学理测试题含解析

河南省信阳市城关镇群力中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将两个数交换，使，下面语句正确的一组是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D2.直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（） A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：C【考点】直线的倾斜角． 【专题】直线与圆． 【分析】由题意可得，直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α的值． 【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣， 再由0°≤α＜180°，可得α=120°， 故选C． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，根据三角函数的值求角，属于基础题． 3.设z=1+i，则=（） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：∵z=1+i， ∴=+（1+i）2=+2i=1﹣i+2i=1+i， 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题． 4.下列函数中值域为（0，）的是

A.

B.C.

D.参考答案：D5.在中，a=15，b=10，A=，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.在正方体中，点为对角面内一动点，点分别在直线和上自由滑动，直线与所成角的最小值为，则下列结论中正确的是（

）A．若，则点的轨迹为双曲线的一部分

B．若，则点的轨迹为双曲线的一部分

C.若，则点的轨迹为双曲线的一部分

D．若，则点的轨迹为双曲线的一部分参考答案：A由题意结合最小角定理可知，若直线与所成角的最小值为，则原问题等价于：已知圆锥的母线与底面的夹角为，圆锥的顶点为点D，底面与平面平行，求圆锥被平面截得的平面何时为双曲线.由圆锥的特征结合平面与平面所成角的平面角为45°可知：当时截面为双曲线的一部分；当时截面为圆的一部分；当时截面为椭圆的一部分.本题选择A选项.7.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是()A．由样本数据得到的回归方程为＝x＋必过样本点的中心(，)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系参考答案：C[解析]R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C.8.设函数且方程的根都在区间上，那么使方程有正整数解的实数a的取值个数为(

)A、2

B、3

C、4

D、无穷个参考答案：B略9.在ABC中，已知ab，则角C=（

）

A．30°

B．150°

C．135° D．45°参考答案：D10.在中，,则（

） A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如304，968等都是凹数。各个数位上无重复数字的三位凹数共有____________个.参考答案：24012.已知分别是椭圆的两焦点，过作直线交此椭圆于A、B两点，则的周长为

参考答案：略13.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的大小为

参考答案：120度略14.设数列{an}的前n项和为Sn．若Sn=2an﹣n，则+++=

．参考答案：

【分析】Sn=2an﹣n，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an+1=2（an﹣1+1），n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．利用等比数列的通项公式可得an=2n﹣1，于是==．利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：∵Sn=2an﹣n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣n﹣[2an﹣1﹣（n﹣1）]，∴an=2an﹣1+1，化为：an+1=2（an﹣1+1），n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．∴数列{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2．∴an+1=2n，即an=2n﹣1，∴==．∴+++=++…+=1﹣=．故答案为：．15.已知以抛物线x2=2py，（p＞0）的顶点和焦点之间的距离为直径的圆的面积为4π，过点（﹣1，0）的直线L与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线L的距离为．参考答案：1或4或【考点】抛物线的简单性质．【分析】以抛物线x2=2py，（p＞0）的顶点和焦点之间的距离为直径的圆的面积为4π，求出抛物线的方程，考虑斜率存在与不存在，分别求出切线方程，即可得到结论．【解答】解：由题意，=4，∴p=8，∴x2=16y，设过点A（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），代入抛物线x2=16y，化简可得x2﹣16kx﹣16k=0∵过点A（﹣1，0）的直线l与抛物线x2=16y只有一个公共点，∴△=256k2+64k=0∴k=0或﹣切线方程为y=0或y=﹣x﹣，当斜率不存在时，x=﹣1满足题意焦点（0，4）到直线L的距离为分别为1或4或，故答案为1或4或．【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．16.已知是不同的平面，是不同的直线，给出下列4个命题：①若则②若则③若则；④若则则其中真命题的个数为

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个．参考答案：117.已知函数的图象恒过定点A，则A的坐标为___．参考答案：（2,3）【分析】令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解.【详解】令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得.所以函数的图像过定点A（2,3）.故答案为：（2,3）【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）解关于的不等式：（为常数）.参考答案：（1）由题知为关于的方程的两根，即∴.

6分（2）不等式等价于，所以：当时解集为；当时解集为；当时解集为.

12分19.如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（Ⅰ）求证：平面FGH∥平面PDE；（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论．（Ⅱ）先证明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根据FH∥BC，则FH⊥平面ABE．（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，满足条件．先证明PE=BE，根据F为PB的中点，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此时，则△PFM∽△PCB，根据对应边成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值【解答】证明：（Ⅰ）因为F，G分别为BP，BE的中点，所以FG∥PE．又因为FG?平面PED，PE?平面PED，所以，FG∥平面PED，同理FH∥BC，又BC∥AD，所以FH∥平面PDE而FG∩FH=F，故平面FGH∥平面PDE（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE=．在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE=，所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得PM：PB=PF：PC．由已知可求得PB=2，PF=，PC=2，所以PM=

【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．20.已知数列的前n项和．(1)证明:数列是等差数列；(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.参考答案：略21.已知函数f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜3；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由||x﹣1|+2|＜3，得3＜|x﹣1|+2＜3，即﹣5＜|x﹣1|＜1，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}?{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜3，得﹣3＜|x﹣1|+2＜3，即﹣5＜|x﹣1|＜1，…所以解集为{x|或0＜x＜2}…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}?{y|y=g（x）}，又f（x）=|x+a|+|x+3|≥|（x+a）﹣（x+3）|=|a﹣3|，所以|a﹣3|≥2，解得a≥5或a≤1．…22.已知命题P：函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上是单调递增函数；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，且P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．