2021年湖南省衡阳市耒阳坪田中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021年湖南省衡阳市耒阳坪田中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.若，，且当时，恒有1，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积是A．

B．

C．1

D．参考答案：C略3.．函数的图象不可能是

（

）

参考答案：D当时，，C选项有可能。当时，，所以D图象不可能，选D.4.不等式组的解集记为D.有下列四个命题：

其中真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A对于p1取点(1,0)代入得，所以为假命题；为真命题；对于恒成立，所以为假命题故选

5.已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．8参考答案：D【考点】一元二次不等式的解法．【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x）=，如图所示，①当b=0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△=a2+4b2＞0，解得：＜f（x）＜，只考虑a＞0，则＜0＜，由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多与一个整数解（例如，0，2），舍去．综上可得：a的最大值为8．故选：D．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．6.已知集合,若，则为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.若非零向量、满足，则在方向上的投影为（

）A.4 B.8 C. D.参考答案：A【分析】先由数量积的运算律计算得到，再利用投影公式计算即可得出结果．【详解】由得，从而在方向上的投影为，故选A.【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，属于基础题．9.设，又K是一个常数。已知当K<0或K>4时，只有一个实根；当0<K<4时，有三个相异实根，现给出下列命题：A．和有一个相同的实根B．和有一个相同的实根C．的任一实根大于的任一实根D．的任一实根小于的任一实根。其中错误的命题的个数是（）

A．4

B.3

C.2

D.1

参考答案：知识点：函数的极值B12D解析：由题意可知函数的示意图如图，则函数f(x)的极大值为4，极小值为0，所以当f(a)=4或f(a)=0时对应的f′（a）=0,则A,B正确.f（x）+3=0的实根小于f（x）－1=0的实根，所以C不正确；f（x）+5=0的实根小于f（x）－2=0的实根，所以D正确．故选D【思路点拨】因为函数是一元三次函数，所以是双峰函数，根据题目给出的函数在不同范围内实根的情况，画出函数f（x）的简图，然后借助于图象，逐一分析四个命题即可得到正确答案.10.已知，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，直线，，则直线的概率为

．参考答案：由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率

12.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

.参考答案：略13.已知数列的前n项和为，满足，，则数列的通项公式________．参考答案：由，解得，当时，，解得，两边同时乘以得，由，所以，则，所以数列是一个等比数列，所以，，，……，，将上述式子相加，可得，而，所以．14.已知实数满足，则目标函数的最大值为.参考答案：515.已知四边形是边长为的正方形，若，则的值

为

.参考答案：16.已知函数y=f（x）是定义在R上的单调递增函数，且1是它的零点，若f（x2+3x﹣3）＜0，则实数x的取值范围为． 参考答案：（﹣4，1）【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】利用函数单调性的性质，将不等式进行转化求解即可． 【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的单调递增函数，且1是它的零点， ∴不等式f（x2+3x﹣3）＜0等价为f（x2+3x﹣3）＜f（1）， 即x2+3x﹣3＜1，即x2+3x﹣4＜0， 解得﹣4＜x＜1， 故答案为：（﹣4，1） 【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用函数零点的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 17.以初速度40,垂直向上抛一物体，时刻的速度（的单位是）为，则该物体达到最大高度为

.米

参考答案：80三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：由已知函数的定义域均为,且.（Ⅰ）函数

当且时,;当时,.所以函数的单调减区间是,增区间是.

………………3分（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．

…………6分（Ⅲ）命题“若使成立”等价于“当时，有”．

由（Ⅱ），当时，，．

问题等价于：“当时，有”．

………8分当时，由（Ⅱ），在上为减函数，则=，故．

当0<时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．

…………12分[Z略19.（本小题满分12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0．96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．

…4分因为事件A，B互斥，则．故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．

…6分（Ⅱ）据题意，的可能取值为0，1，2．

…7分其中，，．

…10分所以的分布列是：012所以．

略20.设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？参考答案：20.（本小题满分14分）解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………………2分∵

∴∴曲线方程是………4分（2）解法1：过点M作ｘ轴的垂线，垂足为D,则点D平分EG,设圆心为，则,,即当运动时，弦长为定值4.解法2：设圆的圆心为，∵圆过，∴圆的方程为………7分令得：设圆与轴的两交点分别为，〔方法2：∵，∴又∵点在抛物线上，∴，∴∴当运动时，弦长为定值4〕

21.如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，点在上，且（Ⅰ）求二面角的大小（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使平面?证明你的结论。参考答案：（Ⅰ）解：因为底面是菱形，又所以，在中，因为，所以故，同理，，所以平面，作交于，则⊥平面.作于，连结，则，即为二面角的平面角.又，所以从而

二面角是6分（Ⅱ）解法一

以为坐标原点，直线、分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以

设点是棱上的点，则

令

得解得

即时，即，是的中点时，、、共面.又

平面，所以当是棱的中点时，平面12分解法二

当是棱的中点时，平面，证明如下，证法一

取的中点，连结，则.

①由

知是的中点.连结、，设，则为的中点.所以

.

②由①、②知，平面平面.12分又

平面，所以平面.证法二因为

所以

、、共面.又平面，从而平面.12分略22.已知函数（其中a，b为常数且）在处取得极值.（1）当时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值.参考答案：解：(1)因为，所以.因为函数在处