广东省茂名市电白第五中学高三数学理联考试题含解析

广东省茂名市电白第五中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量满足，则的最大值为

(

)Ａ.Ｂ.

Ｃ.Ｄ.参考答案：B略2.已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若对?p，q∈（0，1），且p≠q，有恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，18） B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（18，+∞）参考答案：C【考点】对数函数的图象与性质．【分析】恒成立恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）=aln（x+1）﹣x2，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，所以．因为p，q∈（0，1），且p≠q，所以恒成立恒成立?'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，所以a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，又因为x∈（0，1）时，8＜2（x+2）2＜18，所以a≥18．故选：C．3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为(

)（A）1

（B）2

（C）4

（D）参考答案：C圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选C.4.若函数是函数的反函数，则的值是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C5.函数f（x）=sinωx（?＞0）的图象向右平移个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，则实数ω的值为（）A． B． C．2 D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据平移变换的规律求解出g（x），根据函数g（x）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减可得x=时，g（x）取得最大值，求解可得实数ω的值．【解答】解：由函数f（x）=sinωx（?＞0）的图象向右平移个单位得到g（x）=sin[ω（x）]=sin（ωx﹣），函数g（x）在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，可得x=时，g（x）取得最大值，即（ω×﹣）=，k∈Z，?＞0．当k=0时，解得：ω=2．故选：C．【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用．属于基础题．6.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n∈N*），则S6=(

) A．44 B．45 C．（46﹣1） D．参考答案：B考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推式与等比数列的通项公式即可得出．解答： 解：∵an+1=3Sn（n∈N*），∴Sn+1﹣Sn=3Sn，∴Sn+1=4Sn，S1=1，S2=3+1=4．∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为4．∴Sn=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为(

)A. B. C. D.参考答案：B略8.如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）参考答案：考点： 函数零点的判定定理．分析： 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答： 解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．9.下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B．“若，则，互为相反数”的逆命题为真命题

C．命题“，使得”的否定是：“，均有”

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

参考答案：B略10.已知f(x)＝－2｜2｜x｜-1｜+1和是定义在R上的两个函数，则下列命题正确的是

(A)关于x的方程f(z)－k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是

(B)关于x的方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是

(C)当m=1时，对成立

(D)若参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方形的中心为且其边长为1，则

．参考答案：112.已知是上的连续可导函数，满足.若，则不等式的解集为

.

参考答案：13.函数在区间上是减函数，则的最小值是________________.参考答案：2略14.已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．参考答案：3

略15.已知函数的反函数为,若,则的最小值为

。参考答案：16.从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知体重的平均值为

kg；若要从身高在三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正、副队长，则这两人身高不在同一组内的概率为

.参考答案：64.5，略17.已知为虚数单位，复数的虚部是______.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ． （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值． 参考答案：【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】对第（1）问，先将方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得圆C的直角坐标方程； 对第（2）问，先验证点M在直线l上，由已知点M写出l的参数方程，再将此参数方程代入圆的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何含义可探求|MA|+|MB|的值． 【解答】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ， 将极坐标与直角坐标互化公式代入上式， 整理得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0． （2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3， 因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为， 代入圆C的方程中，得． 设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得＞0，t1t2=1＞0， 于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=， 即|MA|+|MB|=． 【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等． 2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等． 3．运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣． 19.（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率为0.84．（Ⅰ）求事件“从该批产品中任取1件产品，取到的是二等品”的概率p；（Ⅱ）若从20件该产品中任意抽取3件，求事件B：“取出的3件产品中至少有一件二等品”的概率．参考答案：解（1）A的对立事件是：“取到的两件产品都是次品”

依题意P(A)=1-p2=0.84,

解得p=0.4；

………………6分

（2）20件该产品中，二等品有20×0.4=8件，

P(B)=1-.

………………12分略20.已知抛物线x2=2py（p＞0），O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B．（I）若A（﹣2，1），求p的值以及圆C2的方程；（Ⅱ）求圆C2的面积S的最小值（用p表示）参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）把A代入抛物线方程即可求出p，计算OA的中点及|OA|得出圆的圆心和半径，从而得出圆的方程；（II）设A（x1，），B（x2，），根据=0得出x1，x2的关系，利用基本不等式求出|OA|2的最小值，从而得出圆C2的最小面积．【解答】解：（I）∵A（﹣2，1）在抛物线x2=2py上，∴4=2p，即p=2．∴圆C2的圆心为（﹣1，），半径r==．∴圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣）2=．（II）设A（x1，），B（x2，），则=（x2，），=（x2﹣x1，）．∵OA是圆C2的直径，∴=0，即x2（x2﹣x1）+=0，∵x2≠0，x1≠x2，∴x22+x1x2=﹣4p2．∴x1=﹣（x2+）．∴x12=x22++8p2≥16p2．当且仅当x22=即x22=4p2时取等号．∴|OA|2=x12+≥16p2+=80p2．∴圆C2的面积S=π?≥20πp2．21.设函数，其中a为常数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若为函数的两个零点，且.①求实数a的取值范围；②比较与的大小关系，并说明理由.参考答案：（1）；（2）①，②见解析【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；（2）①求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点的个数确定的范围即可；②求出，得到，设，则，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）时，，，故，故切线方程是.（2）①，当时，恒成立，即单调递减，不可能有个零点，故不合题意；当时，令，解得：，列表如下：0递减递增

故，∵有2个零点，∴，解得：，故，且，故存在，使得，，设，则，，故在递增，故，∵，故存在，使得，综上，；②∵，故，即，，设，则，则，故递增，，∵，∴，即，故．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属于难题．22.已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan．（Ⅰ）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=log2，数列{}的前n项和为Tn，求满足Tn＜（n∈N*）的n的最大值．参考答案：【考点】数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”及其等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数n的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：∵Sn=﹣an﹣（）n﹣1+2（n∈N+），当n≥2时，Sn﹣1=﹣an﹣1﹣（）n﹣2+2（