山西省晋中市南关中学2021年高三数学理联考试题含解析

山西省晋中市南关中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)的图象的一条对称轴方程是A．x=

B．x=

C．x=π

D．x=参考答案：Cy=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)=sin(2x+)?cos(﹣x)+cos(2x+)?sin(﹣x)，所以x=π是其一条对称轴方程，选C.

2.设满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C3.

如图，在正方体中，M、N分别为棱和中点，则异面直线CM与所成角的正弦值为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：答案：B4.已知函数，则

参考答案：D5.若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.复数z满足（1+i）z=i+2，则z的虚部为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=i+2，∴（1﹣i）（1+i）z=（i+2）（1﹣i），∴2z=3﹣i，∴﹣i．则z的虚部为，故选：C．7.已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为____________.参考答案：8.已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．【解答】解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．9.若直线与圆切于点P(-1,2)，则的积为(

)

A.3

B.2

C.-3

D.-2参考答案：答案:B10.已知抛物线C：，直线l过点，且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意可知设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程作差求得：，由中点坐标公式可知：x1+x2＝4，y1+y2＝4，代入求得直线MN的斜率．【详解】设，代入：，得，（1）-（2）得.因为线段的中点恰好为点，所以，从而，即的斜率为.故选C.【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，若从中任取一个元素作为直线的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是

.

参考答案：12.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为___________.参考答案：

【知识点】由三视图求面积、体积G2由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故相当于棱长分别为，，2的长方体的外接球，故满足，所以，几何体的外接球的体积为，故答案为：．【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入体积公式，可得答案．13.已知指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），则在（0，10]内任取一个实数x，使得f（x）＞16的概率为．参考答案：【考点】几何概型；指数函数的单调性与特殊点．【分析】设函数f（x）=ax，a＞0且a≠1，把点（2，4），求得a的值，可得函数的解析式，进而结合几何概型可得到答案．【解答】解：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），代入可得a2=4，解得a=2，∴f（x）=2x．又∵x∈（0，10]，若f（x）＞16，则x∈（4，10]，∴f（x）＞16的概率P==，故答案为．14.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为

参考答案：415.在平面直角坐标系xOy中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为

．参考答案：316.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________.参考答案：3/5略17.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

。参考答案：3/2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围.参考答案：略19.已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性求出f（x）的最大值，问题转化为m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2﹣x﹣1）ex，∴f′（x）=（x2+x﹣2）ex，当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＞0时，解得x＞1或x＜﹣2，函数单调递增，当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＜0时，解得﹣2＜x＜1，函数单调递减，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数，在（﹣2，1）上为减函数；（2）f′（x）=（x+2）（x﹣a）ex，a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+mea恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+mea恒成立，即m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）=，所以m＞．20.已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若p是?q的充分条件，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[1，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为p是?q的充分条件，所以A?CRB，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．【解答】解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}．（1）∵A∩B=[1，3]∴∴，∴m=4；（2）∵p是?q的充分条件，∴A??RB，而CRB={x|x＜m﹣3，或x＞m+3}∴m﹣3＞3，或m+3＜﹣1，∴m＞6，或m＜﹣4．【点评】此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握．属中档题．21.(本小题满分16分)已知函数，为常数.（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，试比较与的大小；（3）若函数有两个零点、，试证明.参考答案：（1），由题，．……………4分（2）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减．由题，令，则．…………………7分又，①当时，22.（本小题满分13分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A元件B（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．参考答案：（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为．

………………1分元件B为正品的概率约为．

………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为．

………………3分；

；；