中考数学几何旋转经典例题

中考数学几何旋转经典例题

旋转知识点归纳知识点1：旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角。如果图形上的点P经过旋转到点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。如图1，线段AB绕点O顺时针转动90度得到A'B'，这就是旋转，点O就是旋转中心，∠BOB'，∠AOA'都是旋转角。说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。决定旋转的因素有三个：一是旋转中心；二是旋转角；三是旋转方向。知识点2：旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的。由此得到如下性质：⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同。⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。⑶对应点到旋转中心的距离相等。⑷对应线段相等，对应角相等。例1：如图2，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ADB绕点A逆时针方向旋转到△AD'C的位置，则∠ADD'的度数是（）。知识点3：旋转作图1.明确作图的条件：（1）已知旋转中心；（2）已知旋转方向与旋转角。2.理解作图的依据：（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转；（2）旋转的性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3.掌握作图的步骤：（1）分析题目要求，找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论。例2：如图3，小明将△ABC绕O点旋转得到△A'B'C'，其中点A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点。随即又将△ABC的边AC、BC及旋转中心O擦去（不留痕迹），他说他还能把旋转中心O及△ABC的位置找到，你认为可以吗？若可以，试确定旋转中心及的位置；如不可以，请说明理由。解读生活中的旋转一、旋转及其基本性质1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。2.旋转的基本性质：(1)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。3.理解旋转中的不变量：图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度，图形在旋转过程中，图形中的每一点都按同样的方向旋转了相同的角度。图形在旋转后点的位置改变，但线段的长度不变，对应点到旋转中心的距离不变，每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等。二、旋转前后两个图形的比较图形是由点组成的，图形中的主要元素有线段和角，也有一些其他可度量的元素，所以从这两个方面加以分析。旋转的特点有以下几个方面：(1)旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变，位置发生了改变；(2)对应线段相等，对应角相等；(3)每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角。三、旋转作图1.旋转作图的依据是：图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等。2.旋转作图的条件：(1)图形原来所在的位置；(2)旋转中心；(3)图形旋转的方向；(4)图形的旋转角度。3.旋转作图的具体步骤为：(1)分析题目的要求，找出旋转中心、旋转角；(2)分析所作的图形，找出构造图形的关键点；(3)根据已知条件，确定构造图形的方法。旋转作图是一种基本的图形变换方法。它可以通过旋转中心和旋转角度来得到旋转后的图形。具体步骤如下：1.沿着一定的方向，以一定的角度旋转各个关键点，通过攫取线段的方法来实现旋转。2.连接所作的各个关键点，并标上相应的字母。3.写出结论，即得到旋转后的图形。旋转作图的考查形式一般有三种：已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形；已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形。在学习旋转作图时，需要注意以下三个要点：1.正确理解旋转的概念，即将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心。旋转不改变图形的形状和大小。2.熟练掌握旋转作图的具体步骤，即沿着一定的方向，以一定的角度旋转各个关键点，连接所作的各个关键点，并标上相应的字母，写出结论，即得到旋转后的图形。3.熟练掌握旋转作图的考查形式，包括已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形；已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形。举个例子，如图1所示，D是等腰直角三角形△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD'的位置，则∠ADD'的度数是多少？解题时可以先确定旋转中心为点A，然后按照旋转作图的步骤进行操作，最后得到∠ADD'的度数为45°。因此，学好旋转作图对于解决实际问题非常有帮助。二、掌握旋转的特征在旋转中，图形中每个点都绕着旋转中心旋转了同样的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段和对应角也相等。旋转前后图形的大小和形状都不发生变化。例如，国际奥林匹克运动会会旗（五环旗）是由五个半径相同的圆组成的，象征着五大洲的体育健儿为发扬神而团结起来，携手拼搏。这个图案是轴对称图形，既可以看做是由一个圆经过四次平移得到的，又可以看做是一个圆经过四次旋转得到的（旋转中心可以不在图案上）。三、会寻找旋转中心要确定旋转中心，需要确定两个图形上的两组对应点构成的对应线段的旋转中心。由旋转特征可知，这两组对应点的旋转中心就是整个图形的旋转中心。例如，四边形ABCD绕某点旋转后到四边形A'B'C'D'，我们可以用待定位置法来确定旋转中心。假定点O就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的距离相等，则有OA=OA'，OB=OB'，从而O一定是线段AA'和线段BB'的垂直平分线的交点上。例如，如图4所示，正方形AGHK绕某点旋转得正方形EFBD，我们需要确定旋转中心和旋转角度。因为四边形AGHK和四边形BDEF都是正方形，所以情况较多，我们只选择其中一个讲解，其它情况请同学们自己探索。首先，我们需要确定正方形AGHK绕某点旋转得正方形EFBD的旋转中心。我们可以用待定位置法，假定点O就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的距离相等，则有OA=OE，OG=OF，从而O一定是线段AE和线段GF的垂直平分线的交点上。接着，我们需要确定正方形BDEF旋转多少度时可以与正方形AGHK重合。因为正方形AGHK和正方形BDEF的边长相等，所以它们的旋转角度也相等，即旋转90度即可重合。的坐标为(-a，-b)。3、求旋转任意角度后点的坐标例3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，将点A绕点O逆时针旋转60°得到点A′，求点A′的坐标。分析：根据旋转的定义，将点A绕点O逆时针旋转60°，可以先将点A沿着x轴正方向平移3个单位，再将点A绕原点逆时针旋转60°，最后再沿着x轴负方向平移3个单位，根据坐标变换的规律求出点A′的坐标。解：如图所示，先将点A沿着x轴正方向平移3个单位得到点A1(2，0)，再将点A1绕原点逆时针旋转60°得到点A2(-1，