陕西省西安市阎良区关山中学2021年高三数学文月考试题含解析

陕西省西安市阎良区关山中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是A．90

B．75

C．60

D．45参考答案：C2.命题“”的否定是A.

B.

C.

D.参考答案：B特称命题的否定为全称命题，所以B正确.3.函数的定义域

A、

B、

C、

D、参考答案：答案：B4.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.5.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（

）种A．222

B．253

C．276

D．284参考答案：A6.圆心在，半径为的圆在轴上截得的弦长等于(

)A．

B． C．

D．参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系.H4

【答案解析】D

解析：圆心到轴的距离为，圆半径，由勾股定理知半弦长为，则弦长为.故选D.【思路点拨】在由圆的半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中利用勾股定理即可。7.已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为(

)A．6 B．8 C．9 D．12参考答案：B【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，∴503（a+b）=f（）+f（）+…+f（）=++…+==2012，∴a+b=4，∴a2+b2≥==8，当且仅当a=b=2时取等号．故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8.函数的反函数是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D9.在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（

）A..

BC.D.参考答案：D略10.（4分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（A∩B）=（）A．{2}B．{3}C．{1，4}D．{1，3，4}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象在点处的切线方程为___．参考答案：【分析】求得函数的导数，利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求得切线的方程.【详解】由题意，函数，则，所以函数的图象在点处的斜率为，即函数的图象在点处切线方程为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答熟记函数导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.下列选项叙述：

①.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”

②.若命题：，则：

③.若为真命题，则，均为真命题

④.“”是“”的充分不必要条件其中正确命题的序号有＿＿＿＿＿＿＿参考答案：①②④13.已知函数.①当时，若函数f(x)有且只有一个极值点，见实数a的取值范围是______；②若函数f(x)的最大值为1，则a=______.参考答案：(－∞,1)

±1【分析】①首先求出当时的极值点，根据题意即可得到的取值范围.②分别讨论当，和时，求出函数的最大值，比较即可求出的值.【详解】①当时，.，令，解得.因为函数在有且只有一个极值点，所以.②当时，，此时，舍去.当时，，.，..所以，因为，所以.当时，，.，令，解得.，，为增函数，，，为减函数..，..当时，即，，解得.当当时，即，，解得，舍去.综上所述：.故答案为：，【点睛】本题主语考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.14.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+2014成立，若函数g(x)=f(x)+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=_________参考答案：-4028略15.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.参考答案：【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆的焦点为F（±1，0），顶点为（±，0）；则双曲线顶点为（±1，0），焦点为（±，0），∴a＝1，c＝，∴b1，∴双曲线的方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．16.定义某种运算的运算原理如图所示，设在区间[-2，2]上的最小值为

。参考答案：-6略17.函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若cosA=，求b．参考答案：考点： 余弦定理．专题： 解三角形．分析： （1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将ab的值代入即可求出a+b的值，由此求得a、b的值．（2）由cosA=，求得sinA=，由正弦定理求得a的值．再求得sinB=sin（A+C）的值，由=，求得b的值．解答： 解：（1）∵S△ABC=absinC==，∴ab=4①．由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，即4=（a+b）2﹣12，则a+b=4②．由①②求得a=b=2．（2）∵cosA=，∴sinA=，由正弦定理可得=，即=，求得a=．又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，故由=，即=，求得b=．点评： 此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，属于基础题．19.（12分）某站针对2014年中国好声音歌手三人进行上投票，结果如下

观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400

（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）在支持的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率.参考答案：【知识点】离散型随机变量及其分布列K6【答案解析】（1）40（2）（2）（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，

∴=，解得n=40，

（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，

年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），

其中恰好有1人在20岁以下的事件有：，（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P=．【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．

（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案【题文】19(12分)如图，在几何体中，四边形均为边长为1的正方形.(1)

求证：.(2)

求该几何体的体积.【答案】【解析】【知识点】空间中的垂直关系G5【答案解析】（1）略；（2）（1）证明：连结AC、BD交于O，

在几何体ABCD-A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．

A1D1∥ADD1C1∥DC∠ADC和∠A1D1C1方向相同所以：平面ACD∥平面A1D1C1

AA1∥CC1且AA1=CC1四边形A1ACC1是平行四边形

由四边形ABCD是正方形得到：AC⊥BD所以：BD⊥A1C1DD1⊥A1C1

所以：A1C1⊥平面BDD1BD1⊥A1C1

（2）该几何体的体积是

V=V正方体ABCD-A1B1C1D1-V三棱锥B-A1B1C1=13-??12?1=．【思路点拨】（1）首先通过线线平行进一步证得面面平行，再得到线线垂直，利用线线垂直得到线面垂直．

（2）用正方体的体积减去三棱锥的体积，得出几何体的体积．20.（本小题满分12分）如图，是直角梯形，又，，直线与直线所成的角为．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小；参考答案：解法一：（Ⅰ）∵∴，又∵∴

…………5分（Ⅱ）取的中点，则，连结，∵，∴，从而作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，从而为二面角的平面角

………8分直线与直线所成的角为∴在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小为

…………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得

…………8分平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为

……12分21.在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为，，b=3．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=，即．sinB=由余弦定理得：…①，又s△ABC=，∴ac=6…②，由①②解得a，c（Ⅱ）由余弦定理得cosC=，则sinC=．即可得sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=即2sinAcosB=，∵sinA≠0，∴．sinB=由余弦定理得：?…①又∵s△ABC=，∴ac=6…②由①②解得∵a＞c，∴a=3，c=2（Ⅱ）由余弦定理得cosC=，则sinC=．∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC=．22.（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】解