全等三角形复习经典练习题

全等三角形复习经典练习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知:如图,AD=ＢＣ,AC=BD.试证明:∠CAD=∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”ﻭ例题、已知,如图,在四边形ＡBCＤ中,AＣ平分∠ＢＡD，CE⊥AB于E,并且AＥ=(ＡB+AD），求证:∠B+∠Ｄ＝１80°．类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知:如图,在△MＰＮ中，H是高ＭＱ和NR的交点，且MQ=NQ．求证：HN＝ＰＭ.类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rｔ△ABC中，AC＝BC,∠C＝90°,Ｄ为AB边的中点，∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F.当∠EDF绕Ｄ点旋转到DＥ⊥AC于Ｅ时(如图1)，易证；当∠EＤF绕D点旋转到ＤE和ＡＣ不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想,不需证明.类型五、直角三角形全等的判定——“HL”下列说法中，正确的画“√”;错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（)（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.(）(3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（)（1)√；（2）×;在△ABＣ和△DBC中，AB＝DＢ,ＡE和ＤＦ是其中一边上的高,AE＝DＦ（3）×.在△AＢＣ和△ABD中，AB＝AB,AD=ＡC,AH为第三边上的高,如下图：已知:如图,DE⊥AＣ,BF⊥AC,AD＝ＢＣ,DE=ＢF．求证：AB∥DC.2、如图,△ABＣ中，∠ACB=９0°，AC=BＣ,AE是BC边上的中线，过Ｃ作CＦ⊥AE，垂足为F，过B作BＤ⊥BC交CＦ的延长线于Ｄ．（1)求证：AE＝CD；（2)若AＣ=12，求BＤ的长.启发：三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等．三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ＡBC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定如图,AD是∠BAC的平分线,DＥ⊥AB,交ＡB的延长线于点Ｅ，DF⊥AＣ于点F,且DＢ＝DC.求证：ＢE=ＣF．2、如图,AC=DB,△PＡC与△ＰＢＤ的面积相等.求证：OＰ平分∠AOB．启发：观察已知条件中提到的三角形△ＰＡC与△PBD,显然与全等无关,而面积相等、底边相等,于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目,有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DC∥AB，∠ＢAD和∠ＡDC的平分线相交于Ｅ,过E的直线分别交DＣ、ＡB于Ｃ、Ｂ两点.求证：AD＝AB＋DC.类型一、全等三角形的性质和判定如图,已知:AE⊥AB,ＡD⊥ＡC，AＢ=AＣ,∠B＝∠C,求证:ＢD=CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1）.作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABＣ中，AB＝AC．求证：∠B=∠C(２）．倍长中线法:1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABＣ与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC.求证：CＤ＝2ＣE.2、若三角形的两边长分别为５和７，则第三边的中线长的取值范围是()A.1＜<6B.５＜＜7C.2<<12D.无法确定（３)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形:如图,AD是的角平分线，H，G分别在ＡＣ，AB上，且ＨD=ＢD.(1)求证：∠B与∠AHＤ互补；(２)若∠Ｂ+2∠DＧA＝１80°，请探究线段ＡG与线段ＡH、ＨD之间满足的等量关系，并加以证明.(3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：１、如图，AＤ是△ABＣ的角平分线，ＡB>ＡＣ，求证：ＡB－ＡC>BＤ－DC如图所示，已知△ABC中AB＞ＡC,AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点,求证:MB-MC<AB－AＣ．启发:因为AB＞ＡC,所以可在AＢ上截取线段AE=ＡＣ,这时ＢE=AB－AC，如果连接EM,在△BME中,显然有MB-ME＜ＢE．这表明只要证明ME=ＭC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性,截长补短是关键.（４).在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.１、如图所示,已知E为正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且∠DAE＝∠ＦAE.求证：ＡF＝AD+CF．启发与角平分线有关的辅助线:在角两边截取相等的线段,构造全等三角形;在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.四边形ABCＤ为正方形,则∠D＝9０°．而∠DAE=∠FAE说明ＡＥ为∠ＦＡＤ的平分线,按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而Ｅ到AD的距离已有,只需作E到AF的距离EM即可,由角平分线性质可知ME＝ＤE．AE＝AＥ．Rt△ＡＭE与Rｔ△ＡDE全等有AD=AM.而题中要证AF=AD＋CＦ．根据图知AF＝AM＋MF.故只需证MＦ=ＦC即可.从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．２、如图所示，在△ABC中，AC=BＣ，∠ACB=90°，D是AC上一点,且AＥ垂直ＢD的延长线于E,,求证:ＢD是∠ABC的平分线．ﻭ(点评)如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件,使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助线的添加方法．类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点:变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键;几种变化图形之间,证明思路存在内在联系,都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知:在△ABＣ中，∠BAＣ＝９０°，AＢ=AＣ,点D为射线ＢＣ上一动点,连结ＡD，以ＡＤ为一边且在ＡＤ的右侧作正方形ADＥF.(1）当点Ｄ在线段BC上时（与点Ｂ不重合）,如图1,求证:CF＝BD（2）当点D运动到线段BC的延长线上时,如图2，