2021中考数学分类练习：全等三角形辅助线方法

全等三角形辅助线

常见辅助线的作法有以下几种：

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是

全等变换中的“对折”.

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形,

利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.

3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模

式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或

逆定理.

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变

换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角

形）

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是

将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说

明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的

线段连接起来，利用三角形面枳的知识解答.

一、倍长中线（线段）造全等

1:（“希望杯”试题）已知，如图4ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是

2:如图所示，AABC中，E、F分别在AB、AC上,DE±DF,D是中点，试唠J

BE+CF与EF的大小.

E

B

DC

3:如图所示，ZSABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：AD平分/BAE.

中考应用

（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtA钻。和等腰

RtMC£）/氏位"/⑦八四肉连接口.M、N分别为8C、OE的中点.探究：AM

与。E的位置关系及数量关系.（1）如图①当A4BC为直角三角形时，AM与。E的位

置关系是,线段4M与OE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtA钻。绕点A沿逆时针方向旋转歹（0<6<90）后，如图②所示,

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.

二、截长补短

1.如图所示，A4BC中，AB=2AC,AD平分ZB4C,且AD=BD,求证：CD1AC

2:如图所示，AC〃BD,EA,EB分别平分NCAB,ZDBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD

B

C

3:如图所示，已知在AABC内，NBAC=60,ZC=40°,P,Q分别在BC,

CA±,并且AP,BQ分别为N84C,ZABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4:如图所示，在四边形ABCD中，BOBA,AD=CD,BD平分NA8C,求证:

ZA+ZC=180°

5:如图在△ABC中，AB>AC,Z1=Z2,P为AD上任意一点，求证;AB-AOPB-PC

B.C

D

6.如图所示，在aABC中，AD平分NBAC,AB+BD=AC,求NB：NC的值.

中考应用：（08海淀一模）

如图,在四边形ABCD中，.40点E是八8上一个动点,若48=60。,相=8C,且

ZMC=6Q「判断AD+AE厉BC的关系并证明你的结论.

解：D

E

8C

三.借助角平分线造全等

1:如图所示，已知在AABC中，ZB=60°,AABC的角平分线

E

AD,CE相交

于点0,求证：0E=0D

2:（06郑州市中考题）如图所示，^ABC中，AD平分NBAC,

DG_LBC且平分BC,DE_LAB于E,DF_LAC于F.（1）说明

BE=CF的理由；（2）加入AB=a,hC=b,求AE、BE的长.

中考应用：（06北京中考）如图①，OP是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以

OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列

问题：

（1）如图②，在ZX/IBC中，N4cB是直角，NB=60°,AD,CE分别为NBAC、

NBC4的平分线，AD,CE相交于点凡请你判断并写出FE与尸。之间的数量关系:

（2）如图③，在aABC中，加入NACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请

问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，温明理由。

四、平移变换

1.AD为aABC的角平分线，直线MNLAD于A.E为MN上一点，^ABC周长记为PA,

△EBC周长记为PB.求证&>5.

2:如图所示，在aABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证：AB+AOAD+AE.

BDEC

五、旋转

1:正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求/EAF的

度数.

2:D为等腰放AABC斜边AB的中点，DMXDN,DW,DN分别交BC,BCA于点E,F。

(1)当绕点D转动时，求证DE=DF。

(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。A

3.如图所示，AA3C是边长为3的等边三角形，MDC是

等腰三角形，且N8£>C=120°,以D为顶点做一个60°角，

使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AAMN的

周长为

中考应用：（07佳木斯）已知四边形ABCZ）中，ABVAD.BCLCD,AB=BC,

ZABC=120°,NMBN=6J,NMBN绕B点旋转,它的两边分别交A。，OC（或

它们的延长线）于E,（1）当NMBN绕3点旋转到A£=C户时（如图1）,易

证AE+CF=EF.（2）当NMBN绕5点旋转到AE/C产时，在图2和图3这两种情

况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段A£,CF,EF又

有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

(09崇文一模)在等边A/LBC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D

为AABC外一点，且NMDN=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在

直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及A4MN的周长Q与等

边A43C的周长L的关系.

0

图1图2图3

(I)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数

量关系是；此时2=；

L

(II)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DMHDN时，猜想(I)问的两个结

论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;

(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x,则Q=

（用x、L表示）.

六、构造全等

例1:已知：如图4,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,

AC=BC,D为BC的中点，CEJ_AD于E,交AB于F,连接DF.

求证：ZADC=ZBDF.

2.用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种

方法：如图9所示，先在NAOB的两边上取OP=OQ,

再取PM=QN,连接PN、QM,得交点C,则射线0C

平分NAOB.你能说明道理吗？图9

3.如图10,AABC中,AB=AC,过点A作

GE〃BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的

延长线分别交GE于点E、G.试在图10中找出3

对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明.图10

A

4.已知△ABC,AB=AC,E、F分别

为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF

交BC于G.求证：EG=GF.图15

A

5.已知：^ABC中，BD=CD,Z1=Z2.求证:AD平分NBAC.

说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后

根据全等三角形的性质得到垂线段相等，再利用角的平分线性质得到两角相等.

（2）利用角的平分线构造全等三角形:①过角平分线上一点作两边的垂线段

练习：如图22,AB〃CD,E为AD上一点，且BE、CE分

别平分/ABC、ZBCD.求证:AE=ED.

②以角的平分线为对称轴构造对称图形

例6:如图23,在AABC中，AD平分NBAC,NC=2NB.求证:AB=AC+CD.

A

BDC

分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AEqAC,连

接DE,我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段证明

BE=CD就可以了.

B

③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线

例7:如图24,在aABC中，AD平分NBAC,CE_LAD于E.

求证：NACE=NB+NECD.

分析：注意到AD平分NBAC,CE±AD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等

三角形.

（3）利用角的平分线构造等腰三角形

如图25,在AABC中，AD平分NBAC,过点D作

DE〃AB,DE交AC于点E.易证aAED是等腰三角形.

因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线,

构造等腰三角形.图25

例11如图26,在△ABC中，AB=AC,BD平分/ABC,DEJ_BD于D,交BC于点E.

求证:CD」BE.

2

练习：1.如图27,在△ABC中，ZB=90°,

AD为NBAC的平分线，DF_LAC于EDE=DC.

求证：BE=CF.

2.已知：如图28,AD是aABC的中线,

DE_LAB于E,DF_LAC于F,且BE=CF.

求证：（1）AD是NBAC的平分线；（2）AB=AC.图28A

/\Q

BP

C

3.在△ABC中，ZBAC=60°,ZC=40°,

AP平分/BAC交BC于P,BQ平分NABC交AC于Q.

求证：AB+BP=BQ+AQ.图29

4.如图30,在Z^ABC中，AD平分NBAC,AB=AC+CD.

求证：ZC=2ZB.图30

5.如图31,E为Z\ABC的NA的平分线

AD±一点，AB>AC.

求证：AB-AOEB-EC.图31

6.如图32,在四边形ABCD中，BOBA,

AD=CD,BD平分NABC.求证：ZA+ZC=180°.

D

7.如图33所示，已知AD〃BC,N1=N2,

Z3=Z4,直线DC过点E作交AD于点D,交

BC于点C.

求证：AD+BC=AB.

8.已知，如图34,4ABC中，ZABC=90°,

AB=BC,AE是/A的平分线，CD_LAE于D.求证:CD=，AE.

2

9.ZXABC中，AB=AC,NA=100°,

BD是NB的平分线.求证:AD+BD=BC.

BC

10.如图36,NB和/C的平分线相交于点F,

过点F作DE〃BC交AB于点D,交AC于点

E,若BD+CE=9,则线段DE的长为（）

A.9B.8C.7D.6图36

11.如图37,Z\ABC中，AD平分NBAC,AD交BC于点D,且D是BC的中点.

求证:AB=AC.图37

F

12.已知：如图38,Z\ABC中，AD是ZBAC

的平分线，E是BC的中点，EF〃AD,交AB于M,

交CA的延长线于F.求证：BM=CF.

1.（2021年河南中考模拟题3）如图所示，在RtAABC中,

AB=AC,D、E是斜边BC上两点，且NDAE=45°,将△ADC绕

点A顺时针旋转90°后，得到△AFB,连接EF,下列结论:

(1)AAED^AAEF；(2)AABE^AACD；(3)BE+DC=DE；(4)

BE'+DC2=DE?.其中正确的是（)

A.(2)(4)B.(1)(4)C.(2)(3)

2.（2021年浙江杭州）在中，AB=&,AC=8,

%=10,一为边比'上一动点，皿4?于£PFVAC

于EM为EF中点,则4"的最小值为

3.（2021年中考模拟2）如图所示，在等腰梯形ABCD中,ZC=60°,

AD〃BC,且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF,AF、BE

交于点P.（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测NBPF的度数，并证明你的结

论.

4.（2021年北京市中考模拟）已知：如图所示，在AABC中，Z

ACB=90\CD_LAB于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC

的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC

CB

5.（2021年赤峰市中考模拟）如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC,BF是/ABC的

平分线，AF〃DC,连接AC、CF,求证：CA是NDCF的平分线.

6.（10年广州市中考六模）、如图所示，在正方形4?切中，点底■施