1.4全称量词,特称量词

1.4.1全称量词1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．2.会判定全称命题和特称命题的真假.1.全称量词和存在量词的含义．(难点)2.全称命题和特称命题真假的判定．(重点)全称量词下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的xR,x>3(4)对任意一个xZ,2x+1是整数是是不是不是

(3)在(1)的基础上,用短语”对所有的”对变量x进行限定;关系:(3)(4)全称命题(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.一.全称命题1.全称量词及表示:短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。定义：表示：用符号“”表示2.全称命题及表示:定义：含有全称量词的命题，叫全称命题。全称命题举例：命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；

所有的正方形都是矩形。

通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。

全称命题的符号表示:一.全称命题命题：对任意的

x∈R，x>3；例3.判断下列全称命题的真假(1)所有的素数是奇数;(2)xR,x2+1≥1(3)对每一个无理数x,x2也是无理数解:(1)∵2是素数,但不是奇数.

∴全称命题(1)是假命题(2)∵xR,x2≥0,从而x2+1≥1∴全称命题(2)是真命题(3)∵是无理数,但()2=2是有理数

∴全称命题(3)是假命题二.如何判断全称命题的真假二.如何判断全称命题的真假方法:若判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0

,使得P(x)不成立即可。练习.判断命题的真假(1)xR,x2+x+1>0(2)xQ,x2+0.5x+1是有理数(3)xR,x2-3x+2=0真真假(x=1或2时才成立)小结一.全称命题1.全称量词及表示:2.全称命题及表示:二.如何判断全称命题的真假若判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0

,使得P(x)不成立即可。1.4.2存在量词存在量词下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;不是不是是是

(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.关系:(3)(4)特称命题短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x).一.特称命题1.存在量词及表示:定义:用符号“∃”表示,含有存在量词的命题,叫做特称命题.表示：2.特称命题及表示：定义:表示：读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.例如:命题（1）有的平行四边形是菱形;（（2）有一个素数不是奇数都是特称命题.例1设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R,q(x)”解:存在实数x,使x2=x成立至少有一个x∈R,使x2=x成立对有些实数x,使x2=x成立有一个x∈R,使x2=x成立对某个x∈R,使x2=x成立例2下列语句是不是全称或特称命题(1)有一个实数a,a不能取对数(2)所有不等式的解集A,都是A⊆R(3)三角函数都是周期函数吗?(4)有的向量方向不定特称命题全称命题不是命题特称命题例3

判断下列特称命题的真假:(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数.(1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.解:(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以,特称命题(1)是假命题.所以,特称命题(2)是假命题.二.如何判断特称命题的真假要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如何判断特称命题的真假如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题(3)是真命题.方法：练习

判断下列命题的真假(1)∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ(2)∃x,y∈Z,使3x-2y=10(3)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数(4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立如:α=β=0时,成立真如:x=y=10时,成立真如:函数y=0,x∈[-1,1]既是偶函数又是奇函数真∵x2+x+8=(x+1/2)2+31/4>0假小结一.特称命题1.存在量词及表示:2.特称命题及表示：二.如何判断特称命题的真假要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题.第一章1.4.3(1)并非所有的人都喝水。也即：有的人不喝水。(1)所有的人都喝水。(2)对所有实数，都有例1、写出下列命题的否定：否定：有的人不喝水。(1)所有的人都喝水。(2)对所有实数，都有全称命题p:它的否定p:结论原命题与否定有什么不同练习1、写出下列全称命题的否定：(1)所有可以被5整除的整数,

末位数都是0；(2)对数函数都是单调函数。

(1)有些可以被5整除的整数，末位数不是0。(2)有些对数函数不是单调函数。(1)没有一个平行四边形是矩形。也即：所有的平行四边形都不是矩形。(1)某些平行四边形是矩形。(2)有些四边形的四个顶点共圆。例2、写出下列命题的否定：(2)没有一个四边形的四个顶点共圆。也即：所有的四边形的四个顶点都不共圆。否定：所有的平行四边形都不是矩形。(1)某些平行四边形是矩形。(2)有些四边形的四个顶点共圆。否定：所有的四边形的四个顶点都不共圆。特称命题p它的否定p结论区别在哪练习2、写出下列特称命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形：（2）有的梯形是等腰梯形；（1）所有的三角形不是直角三角形。（2）一切梯形都不是等腰梯形。练习3、写出下列特称命题的否定：（1）存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；（2）有的菱形是正方形。（1）对所有的四边形，它的对角线都不互相垂直且平分。（2）所有的菱形都不是正方形。特称命题p:它的否定p:⑴全称命题的否定：全称量词变存在量词，肯定变否定。⑵特称命题的否定：存在量词变全称量词，肯定变否定。全称命题p:它的否定p:一般结论例3、写出下列命题的否定，并判断真假；（1）一切分数都是有理数；（2）有些三角形是锐角三角形；（3）x是任意实数,都有2x+4不小于0否定：存在一个分数不是有理数。假否定：所有的三角形不是锐角三角形。假真练习4、写出下列命题的否定形式。⑴三角形的两边之和大于第三边。⑵直角相等。⑶△ABC的内角中必有一个锐角。有些三角形的两边之和小于或等于第三边。有些直角不相等。△ABC的所有内角都不是锐角。