全国高中物理竞赛相对论专题训练题答案

全国高中物理竞赛相对论专题训练题答案

1）根据动量守恒定律，假设电子静止时质量为m，光子频率为ν，电子完全吸收光子能量后以速度υ运动，有公式hν/c=mυ/(1-υ^2/c^2)，同时碰撞前后系统总能量E=mc^2/(1-υ^2/c^2)。将υ消去后，得到E=2mc^2+hν^2/(1-υ^2/c^2)。然而，由碰撞前后系统总能量的计算公式E=hν+mc^2可知，E与E'不等，因此该假设过程不符合能量守恒定律，不可能发生。2）在光电效应过程中，束缚在金属中的电子和射入金属的光子构成的系统动量不守恒，只需考虑能量转换问题。设电子逸出金属表面所需的最小功为逸出功W，逸出后电子速度为υ，入射光子能量为hν，电子静止质量为m，则有公式hν≥W+mc^2/(1-υ^2/c^2)。由于逸出电子速度一般比光速小很多，可以近似认为1-υ^2/c^2≈1，因此公式简化为hν≥W+mc^2。只要满足这个条件，就能产生光电效应。解析本题需要用到热力学第一定律，即能量守恒定律。根据题意可知，液态氢的焓变为-285.8kJ/mol，而氢气的焓变为0，因此氢气的热量来自于液态氢的放热，即Q=-nΔH=-2mol×(-285.8kJ/mol)=571.6kJ根据理想气体状态方程，可得PV=nRT其中P为氢气的压强，V为氢气的体积，n为氢气的摩尔数，R为气体常数，T为氢气的温度。将上式化简可得V=nRT/P将Q代入热力学第一定律的公式中可得Q=ΔU+W其中ΔU为氢气的内能变化，W为气体对外做功。由于氢气的体积不变，因此W=0，代入上式可得ΔU=Q=571.6kJ根据内能的定义，可得ΔU=nCvΔT其中Cv为氢气的定容热容，ΔT为氢气的温度变化。将上式代入上式可得nCvΔT=571.6kJ由于氢气的体积不变，因此氢气的温度变化只与内能变化有关。因此，可以通过氢气的内能变化来计算氢气的温度变化。将氢气的摩尔质量和定容热容代入上式可得ΔT=571.6kJ/(2mol×20.8J/(mol·K))=1376K因此，氢气的温度变化为1376K。解析：(1)测得B尺长度缩短了，导致结果为A2B1，A2B2，A1B1，A1B2。(2)测得A尺长度缩短了，导致结果为A2B1，A1B1，A2B2，A1B2。(3)测得A尺和B尺长度均缩短了，缩短的长度一样，结果为ABA2B1，22（同时），A1B2，A1B1。解析：(1)设lx、ly为S上测得杆长在x、y方向分量，lx'、ly'为S'上测得杆长在x'、y'方向分量。由公式tgθ=ly/lx=ly'/lx'/(1-v^2/c^2/2)，可得θ=arctg[(1-v^2/c^2)/(1-v^2/c^2/2)]。(2)由长度缩短公式l'=l*(1-v^2/c^2)^0.5，可得l=l'/(1-v^2/c^2/2)^0.5，再代入坐标变换公式，可得长度缩短只发生在运动方向上。解析：(1)S系固连在实验室上，S'固连在原子核上，S、S'相应坐标轴平行。取X轴正向为沿原子核运动方向上。由洛伦兹变换公式，可得vx'=(vx-v)/(1-vvx/c^2)。(2)由速度变换公式，可得v'x=(v+vx)/(1+vvx/c^2)。代入数据计算可得v'x≈0.946c。(3)由能量守恒公式Ek+mc^2=E'+mc^2，代入数据计算可得Ek≈0.054mc^2。(4)由动量守恒公式p=mv=mvx，代入数据计算可得p≈0.121mc。解析：1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为Ec+MV=-E'c+MV'，E+MV^2/2=E'+MV'^2/2。2.从上两式消去V'，得E+E'=(1+V/c)(M+M')，E-E'=(1-V/c)(M-M')。3.当V/c<<1时，可得E'≈E(1-2V/c)。注：文章中的一些符号可能无法正确显示，因此在改写时需要根据上下文进行推断和修改。解析：（1）沿棒长方向运动时的“长度收缩”效应和（2）运动物体的“质速关系”都是相对论效应。当棒（K系）以速度v相对于观察者（K′系）沿棒长方向（x轴）运动时，静止棒长l是固有长度，因此，运动长度为：l'=l/√(1-v²/c²)运动质量为：m'=m/√(1-v²/c²)则线密度为：ρ'=m'/l'=ρ/√(1-v²/c²)若棒在垂直长度方向上运动时，长度不变，即l''=l，运动质量仍为m'，则线密度为：ρ''=m'/l=ρ/√(1-v²/c²)练习16：根据洛仑兹变换，得到两个事件的空间和时间间隔公式：Δx'=(Δx-vΔt)/√(1-v²/c²)Δt'=(Δt-Δxv/c²)/√(1-v²/c²)由题意得：Δt=1s，Δx=1m，Δx'=2m。因此：Δt'=-0.577×10^-8(s)v=c(1-(Δx/Δx')²)^0.5将Δt'v/Δx'c=-0.5带入可得Δt'=-Δx'/(2c)，即Δt'=-0.5×10^-8(s)。注意，在S'系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx'=2m可以大于间隔Δx=1m。如果在S'系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx'就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式Δx'=Δx/√(1-v²/c²)，计算它们的相对速度。练习17：以地球为S系，则Δt=10s，Δx=100m。根据洛仑兹坐标和时间变换公式：x'=(x-vt)/√(1-v²/c²)t'=(t-vx/c²)/√(1-v²/c²)飞船上观察运动员的运动距离为：Δx'=(Δx-vΔt)/√(1-v²/c²)≈-4×10^9(m)运动员运动的时间为：Δt'=(Δt-vΔx/c²)/√(1-v²/c²)≈16.67(s)在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×10^9m。练习18：在相对论能量关系E=E0+EK中，静止能量E0已知，且E0=mc²，总能量为：E=E0/√(1-v²/c²)+EK/√(1-v²/c²)所以，粒子的运动时为：Δt'=Δt/√(1-v²/c²)练习19：根据相对论动能公式，粒子的非相对论动能为Ek=mv2/2，相对论动能为E`k=mc2/(1-v2/c2)，其中m为运动质量。将两个动能相等，可得mc2/(1-v2/c2)-mv2/2=0，整理得v2/c2=1/2(1-1/(1+(2mc2/mv2))).解得速率为v=c(1-2mc2/mv2)^(1/2)。练习20：1.根据光速不变原理，两惯性系中光速大小相同，以和分别表示光子速度方向在S和S系中与x和x轴的夹角，则有cosθ=cosθ'/(1-v/c)和cosα=cosθ/(1+v/c)，其中v为两系间相对速度。因此，有α=arccos(v/c+cosθ)/(1+v/c)。可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小。2.在S'系中，质点静止，在Δt'时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即PΔt'=Δmc2，式中Δm为Δt'时间内质点减少的质量。在S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动量和能量亦减少。转化为光子的总动量为Δp=Δmv/(1-v2/c2)，转化为光子的总能量为ΔE=Δmc2/(1-v2/c2)。在S系中，光源静止，因此可以测得辐射时间Δt'为本征时。当在S系中发生膨胀时，Δt会变成Δt'=Δt/(1-v^2/c^2)。通过这些公式可以计算出单位时间内辐射的全部光子的总动量和总能量，分别为Δpv/c和ΔE=PΔt。根据相对论的理论，光速是不变的，而且不同参考系中的观察者会有不同的时间和空间的体验。因此，当光源在S系中静止时，我们可以测量出辐射时间Δt'。但是，当在S系中发生膨胀时，时间会变得缓慢，因此我们需要使用Δt'=Δt/(1-v^2/c^2)来计算出在S系中的时间。通过这个公式，我们可以计算出单位时间内辐射的全部光子的总动量和总能