2021-2022学年山西省临汾市霍州师庄老张湾中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年山西省临汾市霍州师庄老张湾中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积(cm3)是（

）A.158 B.162C.182 D.324参考答案：B【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

2.设，，且满足则（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s的值为（）A.4 B. C. D.参考答案：C【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】第一次，否，第二次，否，第三次，是，程序终止，输出s=，故选：C．4.已知函数，若有，则b的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：

B5.函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A． B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】所求面积由三角形面积加上一曲边梯形面积，利用定积分可求得结论．【解答】解：由题意，函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为三角形面积加上一曲边梯形面积+=2+2sinx=2+2=4故选D．6.把函数的图象向左平（）个单位，得到一个偶函数，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.按1，3，6，10，15，…的规律给出2014个数，如图是计算这2014个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（） A．i≥2014 B． i＞2014 C． i≤2014 D． i＜2014参考答案：B8.已知集合则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知函数f（x）＝，则满足不等式f（3－x）＜f（2x）的x的取值范围为

A、（－3。－）B、（－3,1）C、［－3,0）D、（－3,0）参考答案：D10.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2 B．1 C． D．参考答案：D【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A（0，0），B（4，0），C（0，4）．设△ABC的重心为D，则D点坐标为，设P点坐标为（m，0），则P点关于y轴对称点P1为（﹣m，0），因为直线BC方程为x+y﹣4=0，所以P点关于BC的对称点P2为（4，4﹣m），根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴，即，解得，或m=0．当m=0时，P点与A点重合，故舍去．∴．故选：D．【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．12.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积是

．参考答案：16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意作出图形．三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：根据题意作出图形．设球心为O，球的半径为r．∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB．三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和．∴V三棱锥S﹣ABC=V三棱锥S﹣ABO+V三棱锥C﹣ABO=．∴球的表面积是S=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查球O的表面积，考查三棱锥S﹣ABC的体积，确定球的半径是关键．13.正三角形中是上的点，，则_________.参考答案：1414.记等差数列的前项和为，若，，则

.参考答案：2016.试题分析：设等差数列的公差为，则由，，可得：即，所以，所以2016，故应填2016.考点：1、等差数列；2、等差数列的前项的和.15.函数的最小值为

。参考答案：16.若函数有3个不同零点，则实数的取值范围是

参考答案：-2＜a＜2试题分析：由函数有三个不同的零点，则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；由，解得，所以函数f（x）的两个极，，，∴函数的极小值f（1）=a-2和极大值f（-1）=a+2．因为函数有三个不同的零点，所以a+2>0,a-2<0，解之，得-2＜a＜2．故实数a的取值范围是A.考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.函数的零点.17.若函数（x∈R）为奇函数，则ab=．参考答案：2016【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（0）=0，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x∈R）为奇函数，∴f（0）==0，∴ab=2016，故答案为2016．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（I）求k的值及的表达式；（II）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值.参考答案：略19.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若，求a，b的值.参考答案：（1）函数的最小正周期为.（2），【分析】（1）将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出的最小正周期;（2）由可得C的范围,可得C的值，由，由正弦定理得，由余弦定理可得，联立可得a、b的值.【详解】（1）.所以函数的最小正周期为.（2）由，得，因为，所以，所以，，又，由正弦定理得.

①由余弦定理，得，即.

②由①②解得，.【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.20.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x1，x2是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，ex≥1+x”这一结论在后面的应用．解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，则切线的斜率为f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切线方程为：x+y+1=0；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的两个实根，则g′（x）=2a﹣ex，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递增，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递减，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有两个实根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）设h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则由题意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，则h′（x）=ex﹣2ax﹣1，当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），当1﹣2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a≤时，h（x）≥0，下面证明a＞时的情况：由ex≥1+x得，e﹣x≥1﹣x，即x≥1﹣e﹣x，∴h′（x）=ex﹣1﹣2ax≤ex﹣1﹣2a（1﹣e﹣x）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）当ex＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，因此，对于x≥0，f（x）≤﹣x﹣1不恒成立，综上所得，a的最大值为．点评：本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．21.已知{an}是公差为正的等差数列，且a3a6=55，a2+a7=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知an=b1+++…+（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：解：（1）∵{an}是公差d＞0的等差数列，∴由a3a6=55，a2+a7=16=a3+a6．解得：a3=5，a6=11，∴，解得a1=1，d=2．an=2n﹣1．（2）∵an=b1+++…+（n∈N*），∴an﹣1=an=b1+++…（n≥2），相减得=2，可得bn=4n﹣2，当n=1时，b1=1，∴bn=，∴n≥2时，Sn=1+=2n2﹣1，又n=1时，适合上式．综上所述：Sn=2n2﹣1．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．分析：（1）{an}是公差d＞0的等差数列，由a3a6=55，a2+a7=16=a3+a6．解得：a3，a6，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用递推关系即可得出bn，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵{an}是公差d＞0的等差数列，∴由a3a6=55，a2+a7=16=a3+a6．解得：a3=5