（四调）武汉市2025届高中毕业生四月调研考试 数学试卷（含答案详解）

武汉市2025届高中毕业生四月调研考试数学试卷答案及解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x2A.(0,4)B.-34C【答案】C【解析】或∁RA∩B={x∣-3<x<0},2.数列an的通项公式为an=2n-11,A.-9B.-7C.-3D.-【答案】D【解析】a1a2∴Snm3.若向量a，b满足∣a∣=1,∣b∣=2,且(a-b)⊥a，则向量a和向量b的夹角为A.π6B.π4【答案】C【解析】acosab4.随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的

统计表格，则下列结论不正确的是评委编号模型名称123456甲7.09.38.39.28.18.9乙8.99.18.58.98.78.6A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】A【解析】甲得分平均数8.6，乙得分平均数8.6，A错，选A.5.若tanα+π4=7,A.725B.34【答案】A【解析】tanα=tancos2α=c6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C=π3,c=6,△ABC面积为3,D为边AB上一点,CD是.∠ACB_A.3B.1C.32【答案】B【解析】Sc2=a即a+b12absi7.已知正四棱锥的侧棱长为33A.1B.3C.2D.【答案】D【解析】设正四棱锥底面边长为a，高为h，如图.AC=V=13af'x=-32x2+54x=0,x=36,f(x)在(fxmax=f36,即a2锤子点评：设出底面边长，结合勾股定理可以求出高用底面边长表示，然后表示出体积，函数求最值。8.已知连续型随机变量服从正态分布N1214,记函数fA.关于直线x=12对称B.关于直线C.关于点1212成中心对称D.关于点【答案】C【解析】x<12时,)x+1-x=1,P(ξ<x)+P(ξ<1-x)=1，即fx+f1-x=1x≥12时,xx+1-x=1,P(ξ<x)+P(ξ<1-x)=1l,即fx+f二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数z=3-5iABC.z在复平面内对应的点位于第四象限D.复数ω满足∣ω∣=1,则∣ω-z∣的最大值为17【答案】BCD【解析】z=3-5i1-i∣z∣=17,B对，ω=x+yi,x,y∈R,(x,y)在单位圆x2∣ω-z∣=∣x-4+y+1i∣=x-410.已知数列an满足a1+2a2+⋯+A.a1=2B.数列C.Sn,S2n,S3n构成等差数列D【答案】AD【解析】a1+2a2+⋯+2n-1an=n2n排除法，选BD.方法二：先看C和D，视y为常数，令f则f'x=cosx+2y-2<0,，且显然f(x)的值域为R，这说明对于任意实数y，fx=0的零点唯一，因此在曲线另一方面，视x为常数，令gy=sinx+2y-2x-y,则g'y=2c对于A，将y=x+1l与C联立，消x得ssin3y-1=y-2,易知当y<1或y>3时无解，不难证明当.y∈13时si对于B，将y=2x-1与C联立，消x得sin5y+12=1,显然当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线x2-y2m【答案】3【解析】a=1,b=13.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y=N1+Ny0-1e-px其中N为饱和度，y₀为初始值，p为年增长率.若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020万块，那么【答案】36【解析】yy=14.在各棱长均相等的正四面体PABC中，取棱PC上一点T，使PT=2TC,,连接TA,TB,三棱锥T-PAB的内切球的球心为M，三棱锥T-ABC的内切球的球心为N，则平面MAB与平面NAB的夹角的正弦值是.【答案】3【解析】方法一：由我们即将开始“2025考前密训网课”立体几何内切体的4个公式知与T位置无关：秒杀令PA=2,则PD=3,CD=3∴二面角正弦值3方法二：如图，将正四面体.P-ABC补成正方体，不妨设PD=3则P(0,0,0),C(0,3,3),T(0,2,2),B(3,3,0),A(3,0,3)AB中点Q33232,QT=382,cos∠QPC=3cccc=csi四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，(1)求证:BE(2)求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值.【解析】(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B又∵∵AB∴AC⊥BE,(2)方法一:如图建系,∴B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,1)∴CB=2-2∴{2x-2y=0设平面CBE与平面ABE所成角为(θ,∴c方法二：∵CA⟂平面ABE,AB∴∠AOC即为二面角(C-BE-A的平面角c16.(15分)已知函数f(1)若在(1,f(1))处的切线斜率为-1,求(2)若fx≥0【解析】1(2)又e令x+lnx=t,t∈R,∴a≥t-e当且仅当t=0,即∴a≥-1,a的取值范围为17.(15分)13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行.(1)求五张字母牌互不相邻的概率；(2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率；(3)对于给定的整数k1≤k≤8,，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件Ak,【解析】(1)总情形有A1313种，五张字母牌互不相邻的情形有∴五张字母牌互不相邻的概率P=(2)方法一：定序问题倍缩策略P=方法二：总A将1~7，7张数字牌先在8右侧排好，有.A77种，再将A-E五个字母依次插入有A77×(3)比k小的数字都在k的右边，∴PA18.(17分)已知集合.A=x∣x=m+3n(1)判断2+3,(2)证明:若.x∈B,y∈B,则.xy∈B;(3)证明:若.x=m+3n∈B,则【解析】方法一：1x=x=0,1x=(2)证明:∵x∈B,y∈B,∴x∈A且1x∈A;y∈A且设x=xy=∴xy∈A同理，13∵x=m+3n∈B,∴m+而1m+3而由m-3n∈B,∴m∴m2-3当m2-3n2=方法二：(1)一个个取倒数好了，有11这就说明2(2)首先，如果x∈A,y∈A,可以令x=p+3q,y=m+3故此，如果x，y∈B,则x∈A,y∈A,即有xy∈A,1x⋅3x=m+3n∈B,这就要求mm不妨令p=再令m2-3这里明显k≠0,故注意p,q∈Z,p2-k=1时自不必说，来看看k=-1l的情况，此时m2-3n2只能是m19.(17分)如图,椭圆Γ1:x2m+y2n=1m(1)求Γ1与Γ(2)过点.P1作直线MN，交Γ1于点M，交]Γ2于点N，设直线P3M的斜率为k1,,直线P₃N(3)点Q1是Γ1上的动点，直线Q1P1交Γ2于点Q2,直线Q2P2交Γ1于点Q3,，直线Q3P3交Γ2【解析】(1)由题意知m=(2)方法一：设直线MN的方程为y=kx-1+1,,取P₁M中点E,

∴kOE⋅k=-13而由kOF⋅k=-3,∴直线方法二：∵P1,P3关于原点对称，∴E为.P1方法三：由于P1与P方法四：注意.P1同时为两个椭圆上的点，那么有相减得到同理有