第一章·有理数·第2课时·相反数和绝对值

初中数学第一章《有理数》“相反数和绝对值”培训教程知识点精讲第一节：相反数若数轴上有这样两个数，位于原点的两边，一个是正数，一个是负数，符号相反，并且这两个数在数轴上的对应点到原点的距离相等。这两个数就是一对相反数。问(1)：什么是相反数？答：符号相反，并且在数轴上的对应点到原点的距离相等的两个数互为相反数。规定：0的相反数是0。如图，－1和1，－2和2，－3和3，……，都是相反数。－5－4－3－2－1O12345问(2)：什么是相反数的几何意义？答：如上图，把数轴在原点处对折，互为相反数的两个数在数轴上的对应点能互相重合，即关于原点对称。即：数轴上关于原点对称的两个点对应的两个数互为相反数。这就是相反数的几何意义。问(3)：如何判断两个数互为相反数？答：由相反数的定义可知，相反数具有两个特征：①符号相反，一正一负；②在数轴上的对应点到原点的距离相等。除规定“0的相反数是0”比如：―5和5，21和―21，―和，和―，―2和，1.1和－1，－和0.都互为相反数。（注：1.1=1，0.=，―2=―。）问(4)：什么是表示相反意义的两个量？如何判定？答：表示相反意义的两个量就是同一事物中，既可以用正负相反符号表示，又可以用意义相反的反义词表示的两个数。由定义可知，表示相反意义的两个量需满足三个条件：一是两个量必须是同一事物，包含一对具有相反意义的词，即反义词；二是两个量的符号相反，一正一负；三是两个量的绝对值可以相等或不相等。满足以上三个条件的两个量就是表示相反意义的两个量。比如：零上、零下的温度数，高于、低于海平面的海拔数，收入、支出和盈利、亏损的金额数，前进、后退的距离数，都是表示相反意义的两个量。问(5)：表示相反意义的两个量一定是相反数吗？答：不一定。因为表示相反意义的两个量，在数轴上的对应点到原点的距离可以相等，也可以不相等。若相等，则这两个量既表示相反意义，同时又互为相反数。若不相等，则这两个数值只是表示相反意义，不是相反数。比如：表示相反意义的两个量高于、低于海平面的海拔数。海拔高度＋50米和－50米，这两个数值的符号相反，一正一负，在数轴上的对应点和原点之间的距离相等。同时这两个数值表示的意义相反，一个是高于海平面50米，一个是低于海平面50米。所以，海拔数＋50和－50既是表示“相反意义”的两个量，又互为相反数。若海拔高度是＋50米和－40米，则这两个数值在数轴上的对应点和原点之间的距离不相等。所以，＋50和－40只是表示相反意义的两个量，不是相反数。问(6)：如何求一个数的相反数？答：①若此数是正数，则在其前面添上一个“－”号，就得到其对应的相反数。因为互为相反数的两个数符号相反，所以正数的相反数一定是负数。比如：11、、1、1.的相反数分别是－11、－、－1、－1.。②若此数是负数，将其前面的“－”号去掉，就得到其对应的相反数。因为互为相反数的两个数符号相反，所以负数的相反数一定是正数。比如：—、－、－17、－1.1的的相反数是分别是、、17、1.1。③若此数是代表数的非0字母a，则a对应的相反数是－a，－a对应的相反数是a。④若此数是0，规定“0的相反数是0”第二节：绝对值已知数轴上任意一个数，它在数轴上的对应点到原点的距离就是这个数的绝对值。－abOa问(1)：什么是一个数的绝对值？答：数轴上任意一个数在数轴上的对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值用符号“︱︱”表示。如上图，数轴上任意一个数－a、b、a，其绝对值用符号记作︱－a︱、︱b︱、︱a︱。问(2)：什么是绝对值的几何意义？答：任意一个数的绝对值其实就是这个数在数轴上的对应点和原点之间的线段长。线段越长，绝对值越大。线段越短，绝对值越小。线段相等，绝对值相等。即：距离原点越远的数的绝对值越大，距离原点越近的数的绝对值越小，距离原点相等的数的绝对值相等。这就是绝对值的几何意义。如上图，数轴上的两数a和－a和原点之间的距离相等，则︱a︱=︱－a︱。两数a和－a和原点之间的距离都大于数b，则︱a︱＞︱b︱，︱－a︱＞︱b︱。问(3)：如何求一个数的绝对值？答：依据以下法则求一个数的绝对值：①若a为正数，其绝对值是其本身，即=a，比如：︱3︱=3，︱︱=；②若a为负数，其绝对值是其本身的相反数，即=－a，比如：︱－3︱=3，︱－3︱=3；③若a=0，规定：0的绝对值是0，即：︱0︱=0。问(4)：如何比较两个数的绝对值大小？如何比较数轴上代表数的字母的绝对值大小？答：①如何比较两个数的绝对值大小？依据求一个数的绝对值法则，先求出这两个数的绝对值，再按得数的大小关系比较大小。1)比较正数和正数的绝对值大小：比如：比较︱6︱和︱︱的绝对值大小。解：∵正数的绝对值是其本身。∴︱6︱=6，︱︱==5。∵6>5。∴︱6︱＞︱︱。2)比较负数和负数的绝对值大小：比如：比较︱—3︱和︱—3︱的绝对值大小。解：∵负数的绝对值是其本身的相反数。∴︱－3︱=－(－3)=3，︱－3︱=－(－3)=3。∵3<3。∴︱—3︱＜︱—3︱。3)比较正数和负数的绝对值大小：比如：比较︱—80︱和︱75︱的绝对值大小。解：∵负数的绝对值是其本身的相反数，正数的绝对值是其本身。∴︱－80︱=－(－80)=80，︱75︱=75。∵80＞75。∴︱—80︱＞︱75︱。②如何比较数轴上代表数的字母的绝对值大小？由绝对值的几何意义可知：距离原点越远的字母的绝对值越大，距离原点越近的字母的绝对值越小，距离原点相等的字母的绝对值相等。－mnOm如图，数轴上的两数m、－m和原点之间的距离相等，则︱m︱=︱－m︱。两数m和－m和原点之间的距离都大于数n，则︱m︱＞︱n︱，︱－m︱＞︱n︱。【例】已知不等于0的三个数x、y、z在数轴上的对应点，比较其相反数的绝对值大小。x0zy分析：先比较三个数x、y、z在数轴上的对应点到原点0的距离远近，由此得出绝对值︱x︱、︱y︱、︱z︱的大小。因为互为相反数的两个数到原点的距离相等，则︱x︱=︱－x︱、︱y︱=︱－y︱、︱z︱=︱－z︱。通过代换即可比较︱－x︱、︱－y︱、︱－z︱的大小。解：观察数轴，可以发现：z距离原点0的距离最近，所以︱z︱最小。y距离原点0的距离比z和x都远，所以︱y︱最大。x距离原点0的距离距离比z远，比y近。由此可知：︱z︱＜︱x︱＜︱y︱。由相反数的定义可知：x、y、z的相反数分别是－x、－y、－z。则：︱x︱=︱－x︱︱y︱=︱－y︱、︱z︱=︱z︱。代换得：︱－z︱＜︱－x︱＜︱－y︱。典型题型精编解析选择题：1.下列几组数中互为相反数的是（）A.－和0.7B.和－0.333C.―(―6)和6D.－和0.25【答案】D【解析】互为相反数需满足两个条件：一是符号相反，一正一负；二是到原点的距离相等，即绝对值相等。A、B项符号相反，但绝对值不相等。C项中的―(―6)表示―6的相反数，即―(―6)=6。6和6的绝对值相等，符号相同，不是相反数。故A、B、C错误。D项符号相反，且绝对值相等，符合相反数的定义。故选D。2.已知数a、b，且a＜0，b＞0，若|a|＞|b|，则以下大小关系成立的是（）A.a＜－b＜－a＜bB.－b＜a＜b＜－aC.－b＜－a＜b＜aD.a＜－b＜b＜－a【答案】D【解题思路】由a＜0，b＞0可知：a在原点0的左边，b在原点0的右边。由|a|＞|b|可知：a到原点0的距离比b远。再由相反数的定义，把－a、－b在数轴上表示出来。按数轴上的数“左小右大”的分布规律即可比较大小。3.下列既是具有相反意义的量，又是相反数的是（）A.超过6千米和不足6千米B.节约10吨和消费10吨C.身高增加2厘米和体重减少2千克D.前进5米和后退4米【答案】A【解析】相反数需满足两个条件：一是符号相反，一正一负；二是到原点的距离相等，即绝对值相等。具有相反意义的量需满足三个条件：一是量必须是同一事物，包含一对具有相反意义的词，即反义词；二是量的符号相反，一正一负；三是量的绝对值可以相等或不相等。B项中，量的绝对值相等，但“节约”和“消费”不是一对反义词，“节约”和“浪费”是反义词。C项中，量的绝对值相等，但“身高”和“体重”不是同一事物。D项的“前进”和“后退”都是长度，且是一对反义词，但量的绝对值不相等，不是相反数。A项中的“超过”和“不足”都是长度，且是一对反义词，同时量的绝对值相等，既是相反意义的量，又是相反数。故选A。4.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．a＜－1＜0B．1＜|a|＜bC．a＜1＜bD．1＜b＜|a|【答案】D【解题思路】①如图，由横轴上的数“左小右大”的分布规律可知：A、C项正确。②如图，由数的绝对值定义可知：|a|＞|－1|，即|a|＞1。又：|a|＜|b|。∵b＞0，|b|=b。∴|a|＜b。∴1＜|a|＜b。故B项也正确。③得出答案：D项错误，选D。填空题：1.若数a 和 b在数轴上的对应点相距6个单位长度，如果a=－2，则b的值为________。【答案】4或－8【解题思路】以横轴为例，纵轴同理。分两种情况讨论。①b在a的右边：数a=－2，a在数轴的负半轴上。|a|=2，即数a到原点0的距离是2个单位长度。已知：a 和 b相距6个单位长度。所以，以原点0为起点，向右数4个单位长度，即得到数b。即：b=4。②b在a的左边：数a=－2，b在a的左边，则a、b都在数轴的负半轴上。已知：a 和 b相距6个单位长度。则：以数a为起点，向左数6个单位长度，即得到数b。已知：数a到原点0的距离是2个单位长度。所以，数b到原点0的距离是8个单位长度，即b=－8。2.若数a绝对值的相反数是其本身，则a的取值范围是_________；若数a相反数的绝对值是其本身，则a的取值范围是_________。【答案】a≤0；a≥0【解析】由已知得：－|a|=a。当a=0时，|0|=0，则－|0|=0，等式成立。当a＜0时，|a|=－a，则－|a|=a，等式成立。当a＞0时，|a|=a，则－|a|=－a，等式不成立。则a≤0；由已知得：|－a|=a。当a=0时，－0=0，则|－0|=0，等式成立。当a＞0时，则－a＜0，|－a|=a，等式成立。当a＜0时，则－a＞0，|－a|=－a，等式不成立。则a≥0。3.数轴上点A对应的数是－3，点B、C对应的数互为相反数，且点A、B之间的距离为8，则点C对应的数是_______。【答案】11或－5【解题思路】以横轴为例，纵轴同理。分两种情况讨论：①点B在点A的左边：a=－3，则点A、B都在数轴的负半轴上。如下图，要满足已知条件“点A、B之间的距离为8”，则以点A为起点，向左数8个单位长度，得到点B。已知：点A距离原点有3个单位长度。则：点B距离原点有3＋8=11个单位长度，对应的数是－②是点B在点A的右边：如下图，已知：a=－3，点A距离原点有3个单位长度。要满足已知条件“点A、B之间的距离为8”则：点B距离原点有5个单位长度，点B对应的数是5，其相反数为－5。4.如图，四个有理数在数轴上的对应点M、P、N、Q，若点M、N表示的数互为相反数，则图中绝对值最小的数的对应点是_______；若点M、P表示的数互为相反数，绝对值最大的数的对应点是_______。【答案】P点；Q点【解析】若点M、N表示的数互为相反数，因为互为相反数的两个数到原点的距离相等，则原点0一定是MN的中点。此时，如图1，点P距离原点0最近，则点P对应的数的绝对值最小。若点M、P表示的数互为相反数，，因为互为相反数的两个数到原点的距离相等，则原点0一定是MP的中点。此时，如图2，点Q距离原点0最近，则点Q对应的数的绝对值最大。图1图2解答题：1.已知|a|=5，|b|=4，且a＜b。(1)求a和b的相反数之和；(2)设数a、b在数轴上的对应点分别是A、B。①如图，若a=－5，点A不动，点B在数轴上如何移动，使点A、B在数轴上对应的数互为相反数？②如图，若b=4，点B不动，点A在数轴上如何移动，使点A、B在数轴上对应的数互为相反数？【答案】(1)求a和b的相反数之和；解：由已知|a|=5，|b|=4得：a=5或―5，,b=4或―4。因为a＜b，则a=―5，b=―4或4。当b=―4时，a和b的相反数之和=(―5)＋(―4)=―9。当b=4时，a和b的相反数之和=(―5)＋4=―1。(2)数a、b在数轴上的对应点分别是A、B。①若a=－5，点A不动，点B在数轴上如何移动，使点A、B在数轴上对应的数互为相反数？解：点A不动，a=―5，相反数=5。∴b=4时，点B在数轴上向右移动1个单位长度，得到数5。b=－4时，点B在数轴上向右移动9个单位长度，得到数5。②若b=4，点B不动，点A在数轴上如何移动，使点A、B在数轴上对应的数互为相反数？解：点B不动，b=4，相反数=―4。∴点A在数轴上向右移动1个单位长度，得到数―4。2.数轴上数a到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。数轴上数a与数b之间的距离记作|a－b|。这就是|a|和|a－b|表示的几何意义。依据以上知识，回答下列问题：(1)解释绝对值|x－2|和|x＋1|表示的几何意义；(2)若|x－2|＋|x＋1|=3，求此时x能取到的最小和最大整数值。【答案】(1)解释绝对值|x－2|和|x