第3讲初中知识点回顾之函数

第3讲初中知识点回顾之函数考点一：一次函数解题思路：形如①当时，为增函数②当时，为减函数【精选例题】【例1】已知直线l：与直线关于x轴对称，则直线的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵直线l的解析式为，∴当时，；当时，，∴点、在直线l上，∵直线l与直线关于x轴对称，∴点、关于x轴对称的点为、，设直线的解析式为，得，解得：，∴直线的解析式为，故选：D．【例2】一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】解：一次函数的值随的增大而增大，∴，解得，∴，∴在第二象限，故选：．【例3】直线的图象经过第一、二、四象限，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：直线的图象经过第一、二、四象限，∴，由①得：，由②得：，∴．故选：D．【例4】在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（

）

①，②，③当线段长取最小值时，则的面积为④若点，则A． B． C． D．【答案】C【详解】直线与抛物线交于、两点，∴，整理得：，∴，∴正确；∵，解得：，，∴，，∴；∴正确；∵，当时，即轴时，有最小值，∴，∴；∴正确；当点时，假设，则：是直角三角形，取的中点为点，连接，∴，∵，∴，，∴点，∴点，∵点，∴，∴时，，即与不一定垂直；∴错误；∴正确的为：．故选：C．

【例5】已知，如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线在第一象限内交于点C，．

(1)求；(2)求k的值；(3)D是双曲线上一点，垂直x轴于E，若以O、D、E为顶点的三角形与相似，试求点D的坐标．【答案】(1)；(2)6；(3)或或或【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当时，解得，当时，解得，，，，，；（2）解：如图，过点C作轴于点F，，，，即点C的纵坐标为6，将代入，得，点C的坐标为，点C在双曲线上，；（3）解：如图，过点D作轴于点E，连接，D是双曲线上一点，设点D的坐标为，，，，以O、D、E为顶点的三角形与相似时，存在和两种情况．当时，，即，解得，当时，，当时，，点D的坐标为或；当时，，即，解得，当时，，当时，，点D的坐标为或，综上可知，点D的坐标为或或或．【例6】【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．

发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．【解决问题】：(1)如图1，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________．(2)如图2，两条直线的交点坐标为___________，方程的解是___________；不等式的解是___________．【拓展延伸】(3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．①求点，的坐标；②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是___________．【答案】(1)；(2)，，；(3)①，；②．【详解】（1）解：∵的图象经过点，∴观察图象，不等式的解集是，故答案为：；（2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为；∵的解为两直线交点的横坐标，∴方程的解为；由图象可得，当时，，∴不等式的解是，故答案为：，，；（3）解：①联立方程组，解得，∴，当时，，∴，∴；②由的图象可知，当时，，当时，，∴关于x的不等式组的解集为，故答案为：．【跟踪训练】1.已知一次函数的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大，．A、当，时，，解得，不符合题意；B、当，时，，解得，不符合题意；C、当，时，，解得，不符合题意；D、当，时，，解得，符合题意．故选：D．2．一次函数的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小，∴，∴，故选：D．3.不论取何值，点都在直线上，若点是直线上一点，则__________．【答案】1【详解】解：∵点在直线l上∴直线l的解析式为∵点也是直线l上的点∴∴∴故答案为：1．4．已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是_______．【答案】【详解】解：可变形为，一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，的解为，故答案为：．5．如图所示，直线（记为）与直线（记为）相交于点，则关于的不等式的解集为_________．

【答案】【详解】解：∵直线（记为）与直线（记为）相交于点，∴，∴，由图象可知：不等式的解集为；故答案为：．6．已知点都在直线上，如果，那么_______（填“>”“<”或“=”）．【答案】【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，又∵点都在直线上，且，∴．故答案为：>．7.在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，对于的每一个值，函数（）的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：∵一次函数由平移得到，∴，将点代入可得，∴一次函数的解析式为；（2）解：当时，对于的每一个值，函数（）的值小于的值，即图象在下方，，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点，∴当时，都小于，又∵，∴可取值2，即，∴的取值范围为．8.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式的解析式；(2)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】(1)；；(2)【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点、，将代入反比例函数得：，解得：，∴反比例函数解析式为，当时，，点B的坐标为，将点、代入一次函数得：，解得：，一次函数解析式为；（2）A关于x轴的对称点D，连接交x轴于P，点P即为所求，如图：

点D的坐标为，设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得：，解得：，直线BD的解析式为，当，，点P的坐标为．9．已知、，且．(1)直接写出点A、B的坐标；(2)点C为轴负半轴上一点满足．

①如图1，平移直线经过点C，交轴于点E，求点E的坐标；②如图2，若点满足，求．【答案】(1)；(2)①；②或6．【详解】（1）解：∵，且，，∴，解得：，∴；（2）解：①连接，如图1，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；②∵，∴点F在过点且平行于x轴的直线l上，

延长交直线l于点，过点H作轴于点M，则，如图2，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴或，∴或6．考点二：反比例函数解题思路：反比例函数：①当时，在和上为减函数②当时，在和上为增函数【精选例题】【例1】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(

)

A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，即当时，的取值范围是或，故选：B．【例2】若点在反比例函数的图像上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：点在反比例函数的图像上，，在每一个象限内，随的增大而减小，且在第三象限，值为负；在第一象限，值为正，，，即，故选：B．【例3】如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数的图象分别与，交于，两点，连接，若，，则的值为___________．

【答案】【详解】如图所示，过点D作于点E，设，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得，∵，∴，即，∴，∴，∴解得．故答案为：．【例4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，一次函数的图象与轴，正比例函数的图象分别交于，两点．

(1)求反比例函数的解析式(2)求的面积．【答案】(1)；(2)3【详解】（1）解：一次函数图象过，可得，解得，∴，

∵的图象过，可得，

∴反比例函数为；（2）解：当时，可得，解得，，∴，由题意，联列方程，解得，∴，

∴．【例5】如图，已知正比例函数与反比例函数图象相交于，两点，矩形的两个顶点，均在轴上，且．(1)求的值；(2)从矩形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，，，，，设，上的高为，，，，，，整理得，（负值舍去），，点在反比例函数图象图象上，；（2）解：由（1）可知，，设直线的解析式为，把代入得，，，直线的解析式为．【跟踪训练】1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（

）

A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【详解】解：∵在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为，∵在反比例函数图象上，∴，∴，由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，∴关于x的不等式的解集为或，故选：A．2.如图，反比例函数的图象过矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，矩形的对角线和交于点，则的值为（

）

A．32 B．16 C． D．【答案】A【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，∵反比例函数的图象过矩形的顶点，∴，故选：A．3.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上，∴，∵，在反比例函数的图象上，在每一象限内随的增大而减小，∴，∴的大小关系是：，故选：．4.双曲线：如图所示，小李设计了一个程序：对于数对表示输入两个正数，，可得双曲线：，直线：分别与双曲线，交于点A，（点与点A不重合），连接，，若，则下列说法不正确的是（

）

A．满足条件 B． C．点的坐标可能为 D．线段上横坐标为正整数的点最多有2个【答案】A【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：

∵，直线：，∴，解得：，，∴点，∵，∴即，解得：，即，，∴线段上横坐标为正整数的点最多有2个，为4和5，故B、C、D正确；将代入得，，面积为负数不符合题意；故选A．5.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则的值为______．【答案】0【详解】解：直线与双曲线交于两点，点关于原点对称，．故答案为：0．6.如图，在同一平面直角坐标系中，直线（t为常数）与反比例函数，的图象分别交于点A，B，点O为坐标原点，连接，，则的面积为______．

【答案】3【详解】解：如图，记直线与y轴交于点M，由反比例函数的系数k的几何意义可得：，，∴．故答案为：3．7.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为．

(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式．(2)求当时x的取值范围，直接写出结果．(3)若点在上，将点P向右平移4个单位落在上，求s的值．【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为；(2)自变量x的取值范围是或；(3)或；【详解】（1）解：∵反比例函数过点，∴，∴反比例函数解析式为；∵一次函数过点A，C，点A的坐标为，点C的坐标为，∴，解得，∴一次函数解析式为；（2）解：由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，令，解得：，，∴当时，自变量x的取值范围是或；（3）解：∵点在上，，∴，把向右平移4个单位后得到，∵向右平移4个单位落在上，∴，解得：或．8.如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）将点代入，，，将代入，，，将和代入，，解得：，；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，，当、、三点共线时，的周长最小，，，设直线的解析式为，，解得：，，．9.如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接．

(1)求点坐标；(2)求的值；(3)求的面积．【答案】(1)；(2)，；(3)．【详解】（1）解：过点D作轴，垂足为F，

∵点A的坐标为，点∴∴由勾股定理可得，∵四边形是菱形，∴，∴，；（2）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，将点代入，∴；（3）解：由（2）得，对于，令，则，∴，令，则，∴直线与x轴交点为，∴．考点三：二次函数解题思路：二次函数：，当时，开口向上，当时，开口向下，对称轴为【精选例题】【例1】已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有唯一公共点，则的值为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：抛物线经过不同两点，，抛物线对称轴为直线，即，整理得，抛物线与轴有唯一交点，∴，，，．故选：C．【例2】已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为()A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，，令，则或，则点，将点的坐标代入并解得：，二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，联立，消去整理得：，，解得：，当或时，直线与这个新图象有三个交点，故选：D．【例3】若是拋物线上两点，则以下说法正确的是（）A．当时， B．若，则C． D．当时，【答案】D【详解】∵拋物线，∵，∴抛物线开口向上，对称轴为，A．当时，∵不清楚和与对称轴的关系，∴无法比较和大小，故A选项错误；B．将代入得，，，∵若，∴，∵，∴，故B选项错误；C．，，，，，∴C选项错误；∵对称轴为，当时，∴，∴和关于对称轴对称，∴，故D选项正确．故选：D．【例4】已知二次函数上的两点满足，则下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【详解】解：A、若，则，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项错误，不符合题意；B、若，则，，当时，解为或，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项正确，符合题意；C、若，则，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项错误，不符合题意；D、若，则，，当时，解为或，二次函数开口向上，对称轴为直线，此时，在对称轴左侧，随的增大而减小，所以，选项错误，不符合题意．故选：B【例5】在平面直角坐标系中，抛物线（其中a是常数，）与y轴交于点A．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做”整点”．(1)求该抛物线的顶点坐标；(2)如果线段（包含端点）上的“整点”个数大于3个且小于8个，求a的取值范围；(3)若抛物线与x轴围成的区域（含边界）内有6个整点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）点A为抛物线与y轴的交点，∴A点坐标为，∵，线段（包含端点）上的整点个数大于3个且小于8个，∴且，∴a的取值范围为；（3）∵抛物线的顶点为，，∴当时，抛物线的解析式为，如图，此时抛物线与x轴围成的区域（含边界）内有4个整点，当时，抛物线与x轴围成的区域（含边界）内有6个整点，当时，抛物线与x轴围成的区域（含边界）内有8个整点，∴要使抛物线与x轴围成的区域（含边界）内有6个整点，则所对应的y值要大于0，且所对应的y值小于等于0，∴，解得：，当抛物线与x轴围成的区域（含边界）内有6个整点时a的取值范围为．【例6】综合与探究如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线解析式；(2)当，t的值为___________；(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；(4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)1；(3)；(4)存在，，，【详解】（1）解：当时，，∴点A的坐标为；当时，，解得；，∴点B的坐标为．将，代入，得：，解得：，∴这个抛物线的解析式为；（2）点，则点，，∴，，∵，∴，解得：或（与点B重合，舍去），故答案为：1；（3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，如图所示：

∵点B的坐标为．∴，，由（2）得，∴，∴面积最大为：8，∵，∴，解得：；（4）存在，，，，理由如下：当时，如图所示：，

过点N作轴，过点B作轴交延长线于点C，∴，，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，解得：，（负值舍去）∴；当时，如图所示：，

∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，解得：，∴或，∵点Q在x轴下方，∴，；综上可得：，，．【跟踪训练】1.已知二次函数，下列说法正确的是(

)A．点在该函数的图象上B．当且时，C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧【答案】C【详解】解：∵，当时：，∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，，∴当时，有最大值为，当时，有最小值为，∴，故B选项错误；∵，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；当时，抛物线的对称轴为：，∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．2.已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（）A． B．或C．或 D．或【答案】D【详解】∵二次函数，∴对称轴，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时