高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

/选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标<1>极坐标系：如图4－4－1所示.在平面内取一个定点O.叫做极点.自极点O引一条射线Ox.叫做极轴；再选定一个长度单位.一个角度单位<通常取弧度>及其正方向<通常取逆时针方向>.这样就建立了一个极坐标系．<2>极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对<ρ.θ>称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径.θ称为点M的极角．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标<x.y>极坐标<ρ.θ>互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化1、已知点P的极坐标为.则点P的直角坐标为〔A.〔1.1B.〔1.-1C.〔-1.1D.〔-1.-12、设点的直角坐标为.以原点为极点.实轴正半轴为极轴建立极坐标系.则点的极坐标为〔A．B．C．D．3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ.以极点为原点.极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中.过点<1,0>并且与极轴垂直的直线方程是<>A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝15．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.以原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.则曲线C的极坐标方程为________．6.在极坐标系中.求圆ρ＝2cosθ与直线θ＝eq\f<π,4><ρ>0>所表示的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时.如果不能直接用极坐标解决.可先转化为直角坐标方程.然后求解．1.在极坐标系中.已知圆C经过点P<eq\r<2>.eq\f<π,4>>.圆心为直线ρsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,3>>>＝－eq\f<\r<3>,2>与极轴的交点.求圆C的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.圆心为C.点P的极坐标为eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<4,\f<π,3>>>.则|CP|＝________.3.在极坐标系中.已知直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ＋\f<π,4>>>＝1.圆C的圆心的极坐标是Ceq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1,\f<π,4>>>.圆的半径为1.<i>则圆C的极坐标方程是________；<ii>直线l被圆C所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中.已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,6>>>＝a截得的弦长为2eq\r<3>.则实数a的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化<1>曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地.可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．<2>如果知道变数x.y中的一个与参数t的关系.例如x＝f<t>.把它代入普通方程.求出另一个变数与参数的关系y＝g<t>.那么.eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝ft,,y＝gt>>就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα<x－x0>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝x0＋tcosα,y＝y0＋tsinα>><t为参数>圆x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝rcosθ,y＝rsinθ>><θ为参数>椭圆eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝acosφ,y＝bsinφ>><φ为参数>题型一参数方程与普通方程的互化[例1]把下列参数方程化为普通方程：<1>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝3＋cosθ,,y＝2－sinθ；>><2>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝1＋\f<1,2>t,,y＝5＋\f<\r<3>,2>t.>>题型二直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝1＋t,,y＝4－2t>><参数t∈R>.圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝2cosθ＋2,,y＝2sinθ>><参数θ∈[0,2π]>.求直线l被圆C所截得的弦长．2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ〔a＞0.直线l的参数方程为：〔1求曲线C与直线l的普通方程；〔2若直线l与曲线C相切.求a值．3、在直角坐标系xoy中.曲线C1的参数方程为.〔α为参数.以原点O为极点.x轴正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为．〔Ⅰ求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；〔Ⅱ设P为曲线C1上的动点.求点P到C2上点的距离最小值．综合应用1、曲线与坐标轴的交点是〔ABCD3、参数方程〔为参数化为普通方程为〔A．B．C．D．3．判断下列结论的正误．<1>平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系.在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系<><2>若点P的直角坐标为<1.－eq\r<3>>.则点P的一个极坐标是〔2.－eq\f<π,3><><3>在极坐标系中.曲线的极坐标方程不是唯一的<><4>极坐标方程θ＝π<ρ≥0>表示的曲线是一条直线<>4.参数方程为表示的曲线是〔A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线5．与参数方程为等价的普通方程为〔A．B．C．D．15.参数方程所表示的曲线是〔A．直线B．两条射线C．线段D．圆16.下列参数方程〔t是参数与普通方程表示同一曲线的方程是：<>A．B．C．D．3.由参数方程给出曲线在直角坐标系下的方程是。4.若直线的参数方程是〔t是参数.则过点〔4.－1且与l平行的直线在y轴上的截距是。5.方程〔t是参数表示的是过点.倾斜角为直线。8.在极坐标系有点M<3,>.若规定极径＜0,极角[0,2].则M的极坐标为；若规定极径＜0.极角<-,>.则M的极坐标为.9.的一个顶点在极点O.其它两个顶点分别为.则的面积为。6．<2013·北京高考>在极坐标系中.点eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2,\f<π,6>>>到直线ρsinθ＝2的距离等于________．7、平面直角坐标系中,将曲线为参数>上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的倍得到曲线,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线的方程为<Ⅰ>求和的普通方程:<Ⅱ>求和公共弦的垂直平分线的极坐标方程.8、已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点.极轴为轴的正半轴.建立平面直角坐标系.直线的参数方程是〔t为参数.〔1求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；〔2若直线与曲线交于两点.求的值.7、已知圆C：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝1＋cosθ,,y＝sinθ>><θ为参数>和直线l：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝2＋tcosα,,y＝\r<3>＋ts