江苏省南通市2023届高三第二次调研测试（暨苏北八市二模、浙江高中联盟学校联考）数学试题

南通市2023届高：第.次调研测试

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡

上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案

不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题

目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若M,N是U的非空子集，A/nN=M,则

A.MqNB.NqMC.ZUM=ND.ZUN=M

2.若iz=(l-2i)2,则2=

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

3.已知(*3+3)”的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为

x

A.60B.80C.100D.120

4.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学

基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点/是球体建筑物与

水平地面的接触点(切点)，地面上5,C两点与点4在同一条直线上，且在点N的同

数学试卷第1页(共6页)

5.在口4BCD中，BE=BC,AF=；AE,若AB=mDF+nAE,则加+〃二

1354

AA-2BD-4Cr-6Dn，3

6.记函数/(x)=sin(ox+今)(。>0)的最小正周期为7.若.<7<兀,且/(x)W■(1)|,

贝Ijco-

A.4B.*C.与D.q

4444

7.已知函数〃x)的定义域为R,y=/(x)+e*是偶函数，y=/(x)-3e'是奇函数，贝U

/(x)的最小值为

A.eB.2A/2C.273D.2e

8.已知尸i，尸2分别是双曲线C：£-4=1(。>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线

ab-

2

上，PFilPF2,圆。：V+/=*(。+/)，直线PFi与圆。相交于Z,8两点，直线

产乃与圆O相交于M,N两点.若四边形/MBN的面积为9b2,则C的离心率为

5862V10

A.4B.5C.—Dn,—

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位：t/hn?)数据为：9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,

乙种杂交水稻近五年的产量(单位：t/hn?)数据为：9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则

A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差

B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数

C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差

D.甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数

10.已知数列｛斯｝的前〃项和为£,4“=(W6,若$卜=-32,则人可能为

(-3)"-7-1,n>6.

A.4B.8C.9D.12

数学试卷第2页(共6页)

11.如图，正三棱锥/-P8c和正三棱锥。-P8C的侧棱长均为血，BC=2,若将正三棱锥

A-PBC绕BC旋转,使得点4P分别旋转至点P处,且4,B,C,。四点共面，

点H,。分别位于3C两侧，则,

A

A.A'DLCP/^卜\

B.PP'〃平面/'BDCB

C.多面体PP/'BOC的外接球的表面积为6兀\7/

D.点A,P旋转运动的轨迹长相等D

12.已知a>0,e'+lnb=l,则

A.a+Inft<0B.e«+b>2C.Ina+e*<0D.a+h>\

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点P在抛物线C：y2=2px(p>0)±.,过2作C的准线的垂线，垂足为“，点尸

为C的焦点.若/印小'=60。，点P的横坐标为1,则。=.

14.过点(-1,0)作曲线歹=工3_》的切线，写出一条切线的方程.

15.已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m,下边长为1m,且下边距地面1m.若某

人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5m2,

则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为m?.

16.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找''完全

数”用到函数b(〃)：,<T(〃)为"的所有正因数之和，如66)=1+2+3+6=12,

则cr(20)=；。(6")=

(第一空2分，第二空3分)

数学试卷第3页(共6页)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本题10分)

记△/BC的内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=sin/sin8.

(1)若N=生，求cos5；

(2)若‘="，求△NBC的面积.

18.(本题12分)

已知正项数列｛如｝的前〃项和为S”且m=l,S3-S：=8","GN*.

(1)求S”;

(2)在数列｛④｝的每相邻两项诙,a*+i之间依次插入。2,…，ak,得到数列｛儿｝：

a\,a\,。2，a\,念，43，a\,ai，俏，...>求｛6”｝的前100项和.

19.(本题12分)

如图，在圆台。。1中，A\B\,48分别为上、下底面直径，且小囱〃43,AB=2A\B\,

CG为异于4小，8与的一条母线.

(1)若/为NC的中点，证明：C\MH平面

(2)若。。=3,4B=4,ZABC=30°,求二面角Z-CC-O的正弦值.

数学试卷第4页(共6页)

20.（本题12分）

我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期

人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量

数据如下：

样本号i12345678910

人工测雨量为5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遥测雨量仍5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

\xt-yi\0.050.080.20.570.420.030.09().110.020.26

101010

并计算得£为2=353.6,工靖=361.7,工叼,=357.3,%2®33.62,34.42,xJ»34.02.

/=!/=1*=1

（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01）,并判

断它们是否具有线性相关关系：

（2）规定：数组（x,,y,）满足|»-词<0.1为“I类误差”；满足|<0.3

为“H类误差”：满足|»-对与0.3为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从

“I类误差”、"II类误差”中随机抽取3组数据与“HI类误差”数据进行对比，记抽到“I

类误差”的数据的组数为X,求X的概率分布与数学期望.

S（^i-Wi-y）

附：相关系数厂=/“I,,,J304.5a17.4.

工住-君223「歹了

V*=1i-i

数学试卷第5页（共6页）

21.（本题12分）

已知椭圆E：£+《=1（。＞方＞0）的离心率为坐，焦距为2,过E的左焦点F的直

ab2

线/与E相交于4B两点,与直线x=-2相交于点M.

（1）若M（-2,-1）,求证：\MA\-\BF\=\MB\i\AF\^

（2）过点尸作直线/的垂线机与E相交于C,。两点，与直线x=-2相交于点M

求1।1।1।1的最大值.

\MA\\MB\|NC||MD|

22.（本题12分）

已知函数/（x）=ax-lnx-q.

（1）若x＞l,〃x）＞0,求实数。的取值范围；

（2）设为，X2是函数“X）的两个极值点，证明：|/（制）-/（垃）|〈工i"

2023届局二第一次调研测试

数学参考答案与讲评建议

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.若N是U的非空子集，MCN=M,则

A.MqNB.NjMC.duM=ND.d(,N=M

【答案】A

2.若iz=(1-2i)2,则2=

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

【答案】C

3.已知（x3+乌）”的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为

X

A.60B.80C.100D.120

【答案】B

4.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学

基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点N是球体建筑物与

水平地面的接触点（切点），地面上8,C两点与点4在同一条直线上，且在点力的同

侧.若在8,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60。和20。，且8c=100m,则该

球体建筑物的高度约为（COSIOOH0.985）

云,'工、、、、、

A.49.25mB.50.76m、、―

C.56.74mD.58.60m

AB(.

【答案】B

twniLUIIUJ[UL1Tuuuiuuuuuu

5.在口ABCD中,BE=与BC,AF=^AE.若AB=tnDF+nAE,贝ij〃?+〃=

A1B.C.1D.|

2463

【答案】D

6.记函数〃x)=sin(0x+今)(。>0)的最小正周期为7.若•1<丁<兀，且/(x)W

贝|Jco=

A.B.*C.—D.夺

4444

【答案】C

7.已知函数/(x)的定义域为R,y=〃x)+ex是偶函数，y=/(x)-3e、是奇函数，则

〃x)的最小值为

A.eB.25/2C.2GD.2e

【答案】B

8.已知尸1，F2分别是双曲线C：£-口=1(“>0,6>0)的左、右焦点，点尸在双曲线

a2b2

上，PF\LPFi,圆O：x2+y2=^(a2+b2),直线尸Q与圆。相交于4B两点,直线

产月与圆。相交于M，N两点.若四边形//8N的面积为9加，则C的离心率为

A.总B.jc.立D,

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位：t/hn?)数据为：9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,

乙种杂交水稻近五年的产量(单位：t/hm?)数据为：9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则

A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差

B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数

C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差

D.甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数

【答案】ABD

10.已知数列｛飙｝的前〃项和为S”1W"W6,若&=—32,则4可能为

[(-3)"-7-1,n>6.

A.4B.8C.9D.12

【答案】AC

11.如图，正三棱锥/-P8C和正三棱锥D-P8c的侧棱长均为近，BC=2,若将正三棱锥

A-PBC绕BC旋转,使得点A,P分别旋转至点A',P'处，且W,B,C,。四点共面，

点4,。分别位于BC两侧，则A

A.A'Drepz/rx

B.PP'〃平面A'BOC

B...\p

C.多面体PPA8DC的外接球的表面积为67t

D.点A,P旋转运动的轨迹长相等\r

D

【答案】BC

12.已知a>0,e"+lnb=1,则

A.a+In/><0B.ea+/?>2C.Ina+e*<0D.a+b>\

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为“，点尸

为C的焦点.若/HPF=60。，点P的横坐标为1,则2=.

【答案】2

3

14.过点(-1,0)作曲线丫=》3一》的切线，写出一条切线的方程一—

【答案】2x_y+2=0,答案不唯一，x+4y+l=0也正确

15.已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m,下边长为1m,且下边距地面1m.若某

人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5m2,

则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为m3.

【答案】v

16.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全

数”用到函数。(〃)：V”eN*,<7(〃)为〃的所有正因数之和，如66)=1+2+3+6=12,

则cr(20)=；cr(6")=__.

(第一空2分，第二空3分)

+1+|

【答案】42；1(2»-1)(3"-1)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题10分）

记△力8c的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=Gsin4sin£

(1)若4=个，求cosB；

(2)若c=瓜,求△45。的面积.

解：⑴(方法1)因为在△48C中，1,所以C=jt—(A+3)=专一

因为sinC=V3sinJsinB,所以sin(竽-8)=,sin3,

所以坐cos8+*sinB="|sin5,BPsin5=-^-cosB(*)....3分

又sin2B+cos23=1.

所以(乎cos3)+cos?8=1,即cos?8=/,

又因为B£(O,TU),所以sin8>0,由(*)知，cosB>0,

所以cosB=2^....6分

(方法2)因为在△Z8C中，A=W，

所以sinC=>/5sinAsinB=^sinB,

所以由正弦定理，得c=9b.……2分

由余弦定理，得层=/+。2-2/?ccosA=6+(a)-2Z?--|/?-cos-1=^2，

因为。〉0,Z;>0,

所以”=孝心……4分

22『停4+伟”

由余弦定理，得COSB=a+；-b='2J[21——=苧.……6分

2觉2xg“勉7

(2)sinC=V3sinAsinB,由正弦定理，得c=V5〃sin3.

又因为《=指，所以asin6=\/^.8分

所以△4SC的面积为

S=^casinB=-^x^6x>/2=>/3.......10分

18.(本题12分)

已知正项数列｛%｝的前"项和为S,,且m=l,S,2-S,；=8〃，«eN*.

(1)求S”;

(2)在数列｛斯｝的每相邻两项公，四+1之间依次插入m，6,…，ak,得到数列｛6〃｝：

a\,a\,02，4"02，的，a”a?，的，。4,...，求｛力｝的前100项和.

解：⑴因为S3T=8〃，

当心2时，S；=(S；T_J+L+(S；-S：)+S；

=8(n-l)+L+8x1+1......2分

=8[l+2+3+L+(n-l)]+l

=8x瞪2+1

=(2H-1)2,..4分

因为>0,所以S〃>0,

所以S“=2〃-l.

当”=1时，S]=q=l适合上式，

所以S“=2〃-1,"eN*.......6分

（2）（方法1）因为5“=2〃-1,neN',

所以当“22时，a“=S,,-S,i=（2〃-1）-（2"-3）=2.

LLIvl=八

所以0……8分

[2,>29.

所以数列｛6”｝：1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,....,

设1+2+L++=网72100,贝旧+"-200W0,

因为〃wN",所以〃<13........10分

所以｛仇｝的前100项是由14个1与86个2组成.

所以7；0a=14x1+86x2=186....12分

（方法2）设1+2+LW100,则“2+/-200W0,

因为〃EN,，所以〃W13....8分

根据数列｛d｝的定义，知

Moo=4+（q+凡）+（q+出+见）+L+（4++L+〃略）+（4+a2+L+%）

=Si+S7+S3L+E3+S9...]0分

=（l+3+5L+25）+17

13X（1+25）,K

=2+17

=186....12分

19.(本题12分)

如图，在圆台OQ中，AM48分别为上、下底面直径，且Z8//N8,AB=2A\B\,

CG为异于44”8S的一条母线.

(1)若/为NC的中点，证明：C\MH平面

(2)若OOi=3,4B=4,ZABC=30°,求二面角/-CC-0的正弦值.

证明：(1)如图，连接AG.

因为在圆台OQ中，上、下底面直径分别为

A,B,,AB,且A4〃A8,

所以的，8蜴，£C为圆台母线且交于一点P.

所以A,A,G,C四点共面.……2分

因为在圆台OQ中，平面A8C〃平面4线£，

平面A41GCI平面ABC=AC,平面AA1cleI平面AM£=AC1,

所以A£〃AC.……4分

又因为A耳〃A8,AB=244,所以冬=摒=\,

nPAAB2

所以4&=金=4,即G为PC中点•

rc\N

在△R4C中，又M为AC的中点，所以GM〃AA.

因为u平面ABB/，平面ABB/，

所以GM〃平面488小....6分

(2)以。为坐标原点，。8,Oq分别为y,z轴，过。且垂直于平面A2B队的

直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-刈z.

因为NABC=30°,所以乙40c=60°.

则A（0,-2,0）,C（V3,-1,O）,O"0,0,3）.

uiuf-uiuriturA

因为0C=（G，-1,0）,所以。C=4OC=（苧

所以G（孚，-3,3），所以注=（孚，-表一3）

设平面OCG的法向量为％=（芯,,，Z]）,

n_L鸵，6%-y=0，

所以|一皿|1所以同।

%±C1C,5-飞―尹]-3Z]=0,

所以平面OCC1的一个法向量为％=(1,石,0).……8分

又AC=（G,1,0）,

设平面ACC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),

fiC1M[n,±AC,&+丫2=。，

所以《"ULLU所以《同1

尸2eg,3X2--y2-3z2=0,

所以平面ACG的一个法向量为%=，，-G,坐).……10分

+苴

所以cos<n,,n2>=昌符=匕上

同二、斤13

设二面角〃-eg-o的大小为。,

所以2

sin9=-cos<nt,n2>=了：；。.

所以二面角M-GC-o的正弦值为噜.

12分

20.（本题12分）

我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期

人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量

数据如下：

样本号i12345678910

人工测雨量H5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遥测雨量95.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101()10

并计算得Zx：=353.6,XX2=361.7,24r=357.3,x2«33.62,y2«34.42,xy^34.02.

i=]i=\i=l

（l）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01）,并判

断它们是否具有线性相关关系；

（2）规定：数组（Xi,M）满足|［一川<0.1为“I类误差”；满足O.lWEf|<0.3

为“II类误差”；满足|斯-"|20.3为“IH类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从

“I类误差”、"I［类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I

类误差”的数据的组数为X,求X的概率分布与数学期望.

£（—）

附：相关系数一下旦---------------•，回

V/=1i=l

1010

君（乂一刃Zxj,.-10元?

解：（1）因为r=，"=1''，……2分

/1010I1010

、加-君文（y-a\（£x：T0V）x（之才-讶）

V/=1i=lV1=1z=l

代入已知数据，

得r=广357.3-10x34.02=17.1a098

7（353.6-10x33.62）x（361.7-10x34.42）,304.5~'

所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.……4分

（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组.

若从“i类误差”和“n类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数

X的所有可能取值为0,1,2,3.6分

C3i

则P(x=o)=三■=g,

c856

g*C[c；嗤15,

p(x=2)==30=15^

C；5628

%X=3)=罟啜★10分

所以X的概率分布为

X0123

115155

P

56562828

所以X的数学期望E(X)=lx|j+2x照+3、熹=圣.……12分

562o2oo

另解：因为X~H(3,5,8),所以《(*)=亨=9.……12分

OO

21.(本题12分)

已知椭圆E：£■+马=1(。>6>0)的离心率为坐，焦距为2,过E的左焦点尸的直

a~b-2

线/与E相交于/,8两点，与直线x=-2相交于点

(1)若M(-2,-1),求证:\MA\-\BF\^\MB\.\AF\^

(2)过点/作直线/的垂线机与E相交于C,D两点，与直线x=-2相交于点N.

求+|JB|*|Jci+的最大值.

解：(1)设耳(一c,0),F2(C,0),

因为焦距为2,所以2c=2,解得c=l.

又因为离心率e=C=坐，所以“=夜，所以©2=27=1,

a2

所以椭圆氏与+V=1.……2分

因为直线/经过M(-2,-1),尸(-1,0),所以直线/方程为y=x+l,

y=x+l,

设A(X[,乂)，3(入2联立’f2得3f+4x=0.

,T+-V

2

(方法1)Etl3x+4x=0,得为=-4，x2=0....4分

所以|M4|•忸F|=依+2>+(y+1)2依+1)、+(%-0)2

=2|XI+2||X2+1|=2X-1+2X|0+1|=1,

同理，得阿=2|赴+2|也+l|=2x|0+2|x-1+l=|.

所以|.|8尸|=|A四|.|4F|....6分

'__4

(方法2)由3/+4x=0,得广+~=-3’……4分

x{x2=0.

因为网.阳=&寓+2卜闽％+1|=2悦+2X2+2|=2-1+X2+2=2X2+|

同理，得阿.|叫=2%+2西+2|=2々+2,372)+2=2X2+1,

所以|M4|.|8*=……6分

(2)由题设知，直线/的斜率存在,且不为0.

设直线/方程为卜=网》+1),直线〃，方程为y=—J(x+1),其中4#0.

K

y=k(x+l),

联立,得(1+2公优+4公工+2%2_2=0,

匕+y=1，

设A。1，yj,B(x2,y2),

A=16/-4(24+1)(2公-2)=8/+8>0,

4公

所以&+x2=-

1+2二

2公-2

中21+2公

因为M（-2，-k）,所以i~~--7+1~~--7=1----------1—/1----------.

\MA\\MB\V1+k2|x,4-2|J1+——+2|

因为玉>—2,x2>—2,

所以]I[_一=_]/---+---L]____I+/+4____.

2

|AM|\MB\JI+%2+2x2+2/yji+k芭9+2（x+w）+4

……8分

4k2।，

所以1'+』=T=1+2公]4公+42

-"

M\MB\7