第三章-测度论

第三章测度论§1外测度§2可测集§3可测集类引言引言：

19世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所以积分概念的推广，自然要想到对Rn中的点集给于一种度量，使之成为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可少的工具。

实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要的勒贝格测度与勒贝格积分理论。长度公理：设有实数直线上的一些点集所构成的集合族，若对于每一个，都对应一个实数（在上定义了一个实函数使得（1）非负性：（2）有限可加性：如果两两不相交，那么（3）正则性：

该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如[0,1]中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。勒贝格测度公理：设有实数直线上的一部分集合族，使得每一个，都对应一个实数（在上定义了一个实函数，满足（1）非负性：（2）可列可加性：如果两两不相交，那么（3）正则性：

问题：是否每一个集合都有测度？内填外包法（测量不规则图形的面积）内填：内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，即不足近似值。外包：外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，即过剩近似值。当格子越来越密时，小正方形的面积趋于0，过剩和不足近似值能够趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。→集合E

↓闭集

↓取包含E的那些开集的测度的下确界→外测度

↓用来填上E的内部的闭集的测度的上确界→内测度

↓外测度和内测度相等→可测

↓开集§1外测度1、勒贝格外测度设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间，做出它的体积总和（可以等于，不同的区间列一般有不同的），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简称L外测度或外测度，即例题1：有限点集的外测度是0.例题2：可数点集的外测度为0.设E为[0,1]中的全体有理数，则可得到：有理数所成之集是零测集。2、勒贝格外测度性质（1）（2）非负性：（3）单调性：设，则（4）次可数可加性例题3：可数个零测积之和集是否为零测集？例题4：康托集是零测集。（3）正则性：包含在中的所有有限开区间。3、勒贝格外测度涵义优点：任何集合都有外测度。例题5：对于区间I有缺点：外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。对外测度加以限制，设法在中找出某一集合类，在上满足（1）封闭性：对某些运算应该封闭；（2）可数可加性：问题：如何从中挑出集合类呢？如下构造：从可加性条件加以思考，附加一个判断中集合属于的条件即可。设，如果，由于中任何开区间I都属于，由的运算封闭性，则所以有（1)反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于引理：设，则(1)是对中任何开区间都成立的充要条件是对中的任何点集T都有§2可测铅集1、勒船贝格款测度设E为伏中的勉点集铃，如妖果对夺任一窃点集T都有则称E是L可测的，著这时E的L外测欣度即称畅为E的L测度，记庄为2、勒峡贝格劈燕测度症运算串性质（1）集裂合E可测垄对于,总有（2）S可测绸可秩测。（3）设责可宣测，绑则艺也蠢可测宣，并皂且当,对于满任意转集合T总有推广浙：设闯可测谊，则婚也五可测卫，并该且当,对于帅任意蔽集合T总有（4）设校可氏测，盗则婚也缴可测调。推广禾：设碧可仪测，袋则州也蛾可测浅。（5）设非可侮测，轨则料也币可测跌。（6）设箭是咸一列排互不迹相交孩的可申测集滥，则殿也变是可开测集享，且推广欢：设急是讨一列书可测竹集，救则什，员也是板可测腊集。（7）设夺是欧一列没递增思的可羞测集屠：令尸，殃则（8）设宁是庆一列腾递降独的可尘测集洲：令邪，轮则当葱时，3、勒侄贝格宴测度部性质（1）（2）非尝负性预：（3）单渣调性政：设拜可场测，稍且沙，怜则（4）可宪列可泛加性阀：设度是沫一列恼互不晃相交咽的可呼测集§3可测泉集类1、零胁测集凡外乳测度干为0的集终合都院是可检测集仪，称衡为零测钢集。零测纹集性刷质：（1）零卸测度罩集的抖任何蜜子集趟都为伙零测使度集捞。（2）有苍限个水或可虏数个奋零