现代控制理论2

现代控制理论

ModernControlTheory第4章稳定性与李雅普诺夫方法12求解微分方程3454.1Lyapunov稳定性的定义稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，对于其他系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，因此必须逐个分别加以讨论。6789定义：对另自治叠系统捏的昏平衡延状态xe=0，若蛋对任高意给粗定的架，存养在一薄个衰，使弊得只磨要状鞋态轨洒线的照初始疯状态出满足，由首该初玩始状独态出忘发的疯状态馒轨线给满足。那孩么，赏系统纪的平划衡状记态xe=0称为钩是李雅该普诺籍夫意蠢义下纤稳定乱的。李雅凭普诺缸夫意舱义下甚稳定10定义醒：对自驴治系阔统款的平馅衡状茧态xe=0，若滴该平吩衡状掘态xe=0是李贱雅普颤诺夫资意义狸下稳写定的扬，且因当t→∞时，赔始于殊原点沉小邻韵域的裳轨线蛙满足x(t)→笼0，则倘平衡写状态xe=0称为短是李雅丹普诺犬夫意泥义下杆渐近驶稳定黄的。李雅但普诺酿夫意诱义下催渐近混稳定渐近辣稳定填性是倘局部钞性质腊。需要乌确定侍渐近遮稳定腾域，吸引尝域。定义

若对任意，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定。大范常围渐纠近稳播定11定义

若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个，当，则有，则称平衡状态不稳定。不稳坊定稳定渐近稳定不稳定1213定理线性霸定常私系统平衡加状态朵渐近薄稳定寸的充限要条梦件是A的特奸征值顷均有冶负实貌部。4.日2李雅暑普诺商夫第票一法(间接攀法)李雅茄普诺林夫间夺接法侄是根农据A的特素征值辈来判暂断系散统的膏稳定劲性。线性拌定常独系统萄的稳非定性状态垮稳定稠性，或冰称内部坟稳定呈性。如果裁系统挣对于受有界谣输入u所引但起的指输出y是有笔界的骨，则面称系戴统为输出圾稳定瓦。输出北稳定忌的充哥要条古件是删传递捷函数牛的极匠点全岛部位板于s平面愧的左临半平夜面。李雅锻普诺妨夫第惯一法碍（间涝接法港）是利壁用状决态方贷程解算的特渗性来唤判断零系统棋稳定裹性的牺方法持，它疲适用引于线嘉性定庭常、晋线性浅时变抽及可团线性病化的撞非线俗性系低统。14非线涌性系优统的虹稳定梳性设将f(x)在平高衡点xe邻域显内展南开为椒泰勒症级数献，得xe为平宅衡点纺。雅可芒比矩米阵15若令Dx=塑x-xe，并围取一苏次近场似式取，可拔得系典统的新线性厨化方卷程为近似线性化：①如果,则渐近稳定，②如果存在，则不稳定；③如，则的稳定性由高阶导数项

R(x)来决定。16试分域析其侧平衡困状态算的稳圈定性茄。例已知园非线训性系君统状催态方邀程解：求平伍衡状刺态：置由知系笋统有揉两个愉平衡车点xe1=[哀0,味0胀]T;xe2=[恳1,抵1贺]T17在xe1处将刻其线监性化披有雅可与比矩摄阵为其特姥征值鲜为：l1=1，l2=-群1，可罗判原伪非线缎性系更统在xe1不稳走定18在xe2处将熊其线帜性化休有雅可旅比矩提阵为其特定征值霞为：l1=j，l2=-j，实屠部为配零，零不能匪应用唐线性芦化方林法判狡断原弹非线扇性系易统在xe2的稳胖定性班。19其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。例

已知非线性系统20计算知系统有平衡点解:求平姓衡状惠态：烟由下面仅对情况进行研究，其它情况类似21①当时，系统在渐近稳定；时，②系统在不稳定;③如果,其稳定性靠一次近似不能判断。由特宏征方拼程许，得设则224.纯3李雅友普诺渠夫第医二法基本羡思路物：从能拆量观石点进丈行稳揉定性忍分析约：1)如果羊一个幕系统殃被激馋励后敞，其间储存皇的能众量随凡时间榜的推王移逐狸渐衰羡减，塑到达尾平衡谜状态尾时，索能量平将达翁最小养值，芒则这宵个平蹈衡状府态是渐近引稳定的；2)反之倒，如室果系然统不危断地章从外闯界吸完收能某量，庄储能德越来荷越大街，则懂这个环平衡些状态样是不稳祸定的；3)如果送系统伸的储蛛能既家不增木加，伴也不牲消耗帽，则灵这个栋平衡晚状态夜就是Ly皇ap防un滔ov意义车下的稳定。23由于肠实际遭系统恒的复五杂性汽和多轮样性籍，往肺往不绕能直毁观地稍找到值一个船能量昨函数纹来描衫述系郑统的堵能量怒关系;于是Ly邮ap恰un腊ov定义浑了一交个正定的标量函数叉，作姿为虚朋构的反广义步能量简函数袭，用蜡其一容阶微懒分的举符号生特征兴来判谋断系帜统的厌稳定瓦性。244.茄3.皇1预备谈知识1.标量吉函数优的符街号性营质由n维向胜量x定义箩的标芬量函踢数V(碎x)1）存在2）3）当时：若V(偿x)梳>0际(萝V(途x)≥0)则称V(怕x)是正住定的(半正婆定的)若V(猛x)证<0弟(赢V(英x)≤0)则称V(久x)是负病定的(半负宣定的)25例

1） 正定的

2） 半正定的

3） 负定的

4） 半负定的

5） 不定的262.二次纺型标块量函导数设x=[x1,x2,··犯·,xn]T，则贱实二航次型蓬可记树为：V(x)=V(x1,x2,··元·,xn)=xTPxP称为援二次灭型的障矩阵(实对陶称矩悼阵)27实二惕次型露是x∈Rn的标舌量函躲数V(x1,x2,··传·,xn)=xTPx，式脾中，P为一统实对茎称nn矩阵①荡x0师,若xTPx>0悄,则称宵二次剧型V为正定的，P称为喉正定际矩阵顿，记题为P>0。②妖x0伯,若xTPx≥0黎,，则买称二发次型V为半正输定的，P称为棵半正芒定矩谢阵，君记为P≥0。③烤若xTPx<0雕(纲≤0惹)家,称V为负辈定的(半负店定的)，P称为负定(半负枕定)矩阵井，记撤为P<0亏(≤句0)。④旺若V既不晴是半袜正定别又不粘是半阳负定孤，则乱称为不定的。283.希尔栋维斯怒特(Sy处lv贞es缸te僚r)判据二次置型函洒数的皮定号伍性判阻别准黑则i(i=1,主2,…梨,n)为其定各阶泛主子毕行列绢式：V(x1,x2,··晋·,xn)=xTPx29矩阵P定号识性的充要饿条件协是：(1掀)若i>宽0奸(i=1,雕2,…把,n)，则P为正励定的铺。(2)若i，则P为负定的。>0i为偶数<0i为奇数(3)若i，则P为半正定的。0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若i，则P为半负定的。0i为偶数0i为奇数=0i=nV(x1,x2,··庙·,xn)=xTPx正定V(x1,x2,··成·,xn)=xTPx负定V(x1,x2,··柜·,xn)=xTPx半正定V(x1,x2,··崭·,xn)=xTPx半负奶定304.词3.壁2几个忽稳定短性判隐据设系步统的厚状态革方程久为xe=0为系确统平激衡状浅态满道足f(xe)=醒0，若可渣构造浩标量挣函数V(x)满足烫：①标蹲量函染数V(x)对x具有宗连续黑一阶浴偏导福数②V(x)是正幼定的刮，即V(0练)=0，且龙对状混态空级间中责所有非零巩状态x满足V(x)>0③V(x)沿状碰态轨吊迹方至向计究算的四时间推导数V(x)=dV(x)/d砌t．31分别扇满足刻下列陷条件为半负熊定的，饶则平穴衡状逢态xe为李练雅普践诺夫叠意义腾下稳定——稳定杜判据嫩；为负定的；窄或者患虽然载为半负绣定，但吉对任微意初屠始状从态x(t0)≠0，除鄙了x=0外，异对x≠0，羡不圆恒为指零，胸则平枕衡状期态xe为李输雅普摄诺夫茄意义德下渐近齐稳定的，嗽如果嘱进一挣步还班有||x||→∞续时，V(x)→∞活，那缘瑞么平衡材状态xe为大范租围渐装近稳杂定的——渐近对稳定贸判据弹；为正定的，兄则平售衡状葡态xe为李纱雅普托诺夫妖意义惰下不稳怀定——不稳骗定判股据。32例；闹设系父统状生态方倘程为试确敌定该父系统掀平衡缴状态急的稳臣定性预。解：由平摔衡状圆态方斤程得解得璃唯一姥的平计衡状嘱态为x1=0凤,x2=0俗,即xe=0欣,为坐诉标原纸点。33为一刮负定铸的标尽量函椅数，军平衡捎状态字（0,则0）渐载近稳屡定。并且||x|嘱|→∞，有V(x)恼→∞，系统卧的平葵衡状咏态是呼大范捎围渐施近稳搞定的废。选取一渡正定材的标攻量函洽数34例；湖设系粱统状轿态方慌程为x1=0缓,果x2=0为系析统唯定一的凡平衡好状态密，试估确定蔬该系久统平畏衡状等态的摩稳定握性。解：选取一亩正定采的标诵量函丝式数≤改035且‖x计‖→办∞，有V(把x)活→嫂∞系统神的平在衡状跃态是隆大范厉围渐夫近稳饥定的面。①x2扬0，x1任意挪②x2-1，x1任意由①x1摆0只有脖原点性满足矛盾勉！

0有两饶种可距能：由②即假栗设不贯成立36说明：(1斯)该判伟据适丝式用线酸性和坐非线但性、馆时变弟和时乒不变辅等各鸣类动辉态系培统；(2掩)Ly歇ap新un世ov函数V(x)不等胸同于悠能量顽，是逼一个其正定杯标量判函数凑，对x有连子续的范一阶册偏导吹数；(3撞)系统拥渐近狭稳定絮性的拦判别租，归占结为V(违x)的选宽取，尚一般涨选取V(刷x)为状胸态x的二器次型勒函数昼，需冲要研诸究者伯的经该验与吼技巧异，V(构x)的选棒取是貌非唯桂一的踪蝶，不光影响颗判定睛结论获的一潜致性附；(4觉)充分登条件列，且芦只表事示平覆衡点伸邻域圈的局鞠部稳堪定性役；37线性扬定常铺系统犹的渐丛近稳讨定性对线典性定案常系掩统系统没的稳完定性泛和原乐点的厕稳定肚性是乔一致速的，百以下斤不再博区分。系统碰渐近雀稳定赠的充感分必纤要条北